Exercícios sobre tangente

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, então temos que:

$\frac{x+2}{4x+1}=\frac{1}{2}$

Multiplicando cruzado:

$4x+1=2x+4$

$4x-2x=4-1$

$2x=3$

$x=\frac{3}{2}$

Alternativa B.

Sabemos que a tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente, nessa ordem. Note que a medida do cateto oposto ao ângulo é de 5 unidades, e a medida do cateto adjacente ao ângulo é de 12 unidades, então essa razão é igual a $\frac{5}{12}$.

Alternativa C.

A reta é tangente ao círculo quando ela toca a circunferência em um único ponto.

Alternativa C

I. A circunferência A é tangente interna à circunferência C. (verdadeiro)

Note na imagem que as circunferências de centro A e C são circunferências que se encontram em um único ponto.

II. O ponto de tangência dessas circunferências é o ponto B. (verdadeiro)

O ponto de encontro das circunferências é conhecido como ponto de tangente, e na imagem é possível perceber que esse ponto de fato está representado pelo ponto B.

Alternativa B.

Se a tangente do triângulo é igual a 1, sabemos que o ângulo notável que possui tangente igual a 1 é o ângulo de 45º. Sabemos que o triângulo é retângulo, logo ele possui um ângulo medindo 90º. Além disso, sabemos que um dos ângulos internos mede 45º.

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo é 180º, sendo x a medida do outro ângulo, temos que:

$180\ =\ 45\ +x\ +\ 90$

$180=135+x$

$180\ -\ 135\ =\ x$

$45° = x$

Se temos dois ângulos internos medindo 45º e o outro ângulo medindo 90º, então o triângulo é isósceles.

Alternativa A.

Primeiro, faremos um esboço da situação.

Seja C o ângulo reto, sabemos que a tangente do ângulo A é a razão entre a e b, que segundo o enunciado é igual a $\sqrt3$, mas note que a é cateto oposto ao ângulo A, e b é cateto adjacente ao ângulo A. Sendo assim, podemos afirmar que $tan\ A=\sqrt3$. Se a tangente de A é igual a $\sqrt3$, o ângulo cuja tangente é $\sqrt3$ é o ângulo de 60º.

Por fim sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Se Â=60º e C = 90º, então B=30°.

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, logo:

$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt5}{3}}$

$\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt5}$

$\frac{2}{\sqrt5}$

Racionalizando, temos que:

$\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}$

$\frac{2\sqrt5}{5}$

Alternativa D.

Para calcular a área, primeiro calcularemos a medida da base do triângulo, representada por x:

$tan\ 60°=\frac{14,5}{x}$

Sabendo que a tangente de 60° é igual a $\sqrt3$, temos que:

$\sqrt3=\frac{14,5}{x}$

$1,7=\frac{14,5}{x}$

$1,7x\ =\ 14,5$

$x=\frac{14,5}{1,7}$

$x=8,5\ m$

Calculando a área:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

$A=\frac{8,5\cdot14,5}{2}$

$A=\frac{123,25}{2}$

$A=61,625\ m^2$

Alternativa E.

Para calcular o perímetro do retângulo, calcularemos o valor de x, utilizando a tangente:

$tan\ 30°=\frac{x}{8}$

$\frac{\sqrt3}{3}=\frac{x}{8}$

$0,58=\frac{x}{8}$

$0,58\ \cdot8\ =\ x$

$4,64\ =\ x$

Agora, calcularemos o perímetro:

$P=2\left(8+4,64\right)=2\cdot12,64=25,28\ cm$

Alternativa D.

Sabemos que $tan\ x=\frac{sen\ x}{cos\ x}$, então temos que:

$0,3443=\frac{0,3256}{cosx}$

$0,3443\ cosx\ =\ 0,3256$

$cosx=\frac{0,3256}{0,3443}$

$cos\ x=0,9457$

Alternativa E.

Sabemos que a área total do terreno mede $3\cdot2=6\ km^2$. Se o ângulo é o mesmo, sabemos que o triângulo que representa a parte que coube ao João possui um ângulo de 30º, pois 90°: 3 = 30°.

No triângulo a seguir temos a área que coube ao João:

Para encontrar o valor de x, utilizaremos a área.

$tan\ 30°=\frac{x}{2}$

$\frac{\sqrt3}{3}=\frac{x}{2}$

$0,58=\frac{x}{2}$

$2\ \cdot0,58\ =\ x$

$1,16=x$

Se x = 1,16, então a área que coube ao João mede:

$A=\frac{b\cdot h}{2}$

$A=\frac{1,16\cdot2}{2}$

$A=1,16\ km^2$

Calculando a porcentagem a área total, temos:

$1,16\ ∶\ 6\ =\ 0,1933\ldots\ \ =\ 19,3%$

Aproximadamente 19%.

Alternativa E.

O segmento AB divide o prédio em dois triângulos retângulos, sabendo que o ângulo B é igual a 15º e que conhecemos o cateto adjacente a ele, é possível calcular o tamanho da base utilizando a tangente.

$tan\ 15°=\frac{CO}{CA}$

$0,26=\frac{x}{114}$

$0,26\ \cdot114\ =\ x$

$29,64=x$

Então, a área da base da torre mede 29,64² = 878,53 m², que é maior que 700.

Como a base é um quadrado, sua área será 29,64² = 878,53.