Exercícios sobre soma dos termos de uma PA

Para calcular essa soma, é necessário saber que os números pares são 2, 4, 6 … e que eles formam uma PA de razão 2. Além disso, o primeiro termo é 2 e o último deve ser descoberto por meio da fórmula do termo geral da PA. Observe:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₂₀₀ = 2 + (200 – 1)2

a₂₀₀ = 2 + (199)2

a₂₀₀ = 2 + 398

a₂₀₀ = 400

Tendo o termo de número 200 em mãos, substitua todos os valores na fórmula da soma dos termos da PA finita:

S_n = (a₁ + a_n)n
         2

S₂₀₀ = (2 + 400)200
           2

S₂₀₀ = (402)200
           2

S₂₀₀ = (402)200
           2

S₂₀₀ = 80400
           2

S₂₀₀ = 40200

Gabarito: letra A.

Seguindo esse padrão, teremos uma PA de razão 5, com primeiro termo também igual a 5. O número de termos dessa PA é 64, pois é exatamente o número de casas do tabuleiro. Falta apenas o número de grãos da última casa para calcular a soma. Esse número pode ser obtido da seguinte maneira:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₆₄ = 5 + (64 – 1)5

a₆₄ = 5 + (63)5

a₆₄ = 5 + 315

a₆₄ = 320

Agora basta substituir esses valores na fórmula da soma dos termos de uma PA.

S_n = (a₁ + a_n)n
       2

S_n = (5 + 320)64
         2

S_n = (325)64
        2

S_n = 20800
        2

S_n = 10400

Gabarito: letra D.

A fórmula usada para calcular a soma dos termos de uma PA finita é a seguinte:

S_n = (a₁ + a_n)n
        2

O número de termos dessa PA é desconhecido e, para encontrá-lo, teremos que usar a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r

O primeiro termo ímpar de 3 algarismos é 101, o último é 999 e a razão da PA é 2, que é o que precisamos somar a um número ímpar qualquer para encontrar o próximo número ímpar. Substituindo esses valores, teremos:

999 = 101 + (n – 1)2

999 – 101 = 2n – 2

898 + 2 = 2n

900 = 2n

n = 900
      2

n = 450

Sabendo que a PA composta pelos números ímpares de 3 algarismos possui 450 termos, podemos calcular a soma desses termos com a fórmula destacada inicialmente.

S_n = (a₁ + a_n)n
        2

S_n = (101 + 999)450
         2

S_n = (1100)450
        2

S_n = 495000
        2

S_n = 247500

Gabarito: letra B.

A fórmula para calcular a soma dos termos de uma PA finita é a seguinte:

S_n = (a₁ + a_n)n
       2

Substituindo os valores dados pelo exercício, que são primeiro termo (a₁ = 5), soma dos termos (S_n = 480) e o número de termos (n = 20), teremos:

480 = (5 + a₂₀)20
        2

Observe que o vigésimo termo é igual ao primeiro somado com 19 vezes a razão da PA. Assim, podemos escrever:

480 = (5 + a₁ + 19r)20
          2

2·480 = (5 + 5 + 19r)20

2·480 = (5 + 5 + 19r)20

960 = (10 + 19r)
20                  

48 = 10 + 19r

48 – 10 = 19r

38 = 19r

r = 38
     19

r = 2

Agora, para encontrar o décimo termo, basta usar a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₁₀ = 5 + (10 – 1)2

a₁₀ = 5 + (9)2

a₁₀ = 5 + 18

a₁₀ = 23

Gabarito: letra D.