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Exercícios sobre função inversa

Esta lista de exercícios sobre função inversa vai te ajudar nos seus estudos sobre o tema, com questões sobre a lei de formação dessa função e sua condição de existência.

Questão 1

Dada a função f: R → R, com lei de formação igual a f(x) = 2x + 1, e seja f-1 sua função inversa, o valor de f- -1 (7) é:

A) 0.

B) 1.

C) 2.

D) 3.

E) 4.

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Questão 2

Suponha que a função f seja inversível e que sua lei de formação seja f(x) = 5x – 10. A lei de formação da sua inversa é:
 

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Questão 3

Dada a função com domínio e contradomínio no conjunto dos números reais e lei de formação f(x) = 2x – 5. Sabendo que f-1 é sua inversa, o ponto a seguir que pertence ao gráfico de f-1 é:

A) A(1, – 3).

B) B(4, 5).

C) C(2,1).

D) D(1,3).

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Questão 4

(Consulpan) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é:

A) 2

B) 9

C) 12

D) 15

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Questão 5

Dada a função f(x) = log2 (x+3) – 2, suponha que ela seja uma função inversível. Desse modo, a lei de formação da sua função inversa é:

A) f-1(x) = 2x – 2 – 3

B) f-1(x) = 2x+3 +2

C) f-1(x) = 3x – 2

D) f-1(x) = log3 (x – 2)

E) f-1(x) = (x+3)² + 2

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Questão 6

 Dada a função f: A → B, em que A ={0,1, 2, 3} e B{ – 1, 0, 3, 8}, com lei de formação f(x) = x² – 1, podemos afirmar que:

A) a função é inversível, pois ela é bijetora.

B) a função não é inversível, pois ela é injetora, mas não é sobrejetora.

C) a função não é inversível, pois ela é sobrejetora, mas não é injetora.

D) a função não é inversível, pois ela é bijetora. 

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Questão 7

Sabendo que a função f: A → B, com lei de formação f(x) = x3 + 2, é inversível, então a lei de formação da função inversa é:
 

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Questão 8

(UEL) Sendo f: R → R+* a função definida por f(x) = 2x, então a expressão que define a função inversa de f é:
 

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Questão 9

Dada a função bijetora f(x) = 2x – 4, o valor de f( f 1 (2)) é:

A) – 2

B) – 1

C) 0

D) 1

E) 2

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Questão 10

 Dada a função f: A → B, em que A= {-1, 0, 1} e B= {0, 1}, com lei de formação f(x)= x², podemos afirmar que:

I → a função é injetora;

II → a função é sobrejetora;

III → a função é bijetora.

É(são) verdadeira(s):

A) somente as afirmativas I e II.

B) somente a afirmativa I.

C) somente a afirmativa II.

D) nenhuma das afirmativas.

E) todas as afirmativas. 

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Questão 11

(FGV) Considere a função real f definida por:
 


e sua inversa f- – 1. Se f 1 (2) = 5, o valor de m é:

A) – 3.

B) – 5.

C) – 7.

D) – 9.

E) – 11.

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Questão 12

(UERN) Considerando as funções f(x) 3x – 2 e g(x) – 2x + 1, o valor de k, tal que f(g(k)) – 1 = 1, é:

A) 3.

B) 2.

C) – 1.

D) – 5.

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa D.

Primeiro encontraremos a lei de formação da função inversa de f. Para isso, trocaremos x por y e f(x) por x na lei de formação:
 

Agora calcularemos o valor numérico para a função quando x = 7:
 

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Resposta Questão 2

Alternativa C.

Dada a função f(x) = 5x – 10, para encontrar a sua inversa, vamos substituir x por y e f(x) por x. Então, temos que:

x = 5y – 10

Isolando o y:

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Resposta Questão 3

  Alternativa D.

Dado o ponto do tipo (b,a), se ele pertence à função inversa de f(x), então o ponto (a,b) pertence à função f (x).

Para verificar à qual ponto pertence a inversa, basta calcular o valor numérico invertendo os valores do par ordenado.

  • A ( 1, – 3) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (– 3,1) pertencerá à f(x). Verificando, temos que:

f (x) = 2x – 5

x = – 3 e y = 1

f( – 3) = 2 · (– 3) – 5

f( – 3) = – 6 – 5 = – 11

Note que o resultado tinha que ser 1, logo o ponto A não pertence à função inversa.

  • B (4,5) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (5,4) pertencerá à f(x):

f(5) = 2 · 5 – 5

f(5) = 10 – 5 = 5

Note que o resultado tinha que dar 4, logo o ponto não pertence à inversa de f.

  • C (2,1) → (1,2) pertence à f(x):

f(1) = 2 · 1 – 5

f(1) = 2 – 5

f(1) = – 3

O ponto C não pertence à função inversa, pois o resultado tinha que ser 2.

  • D (1,3) → (3,1) pertence à f(x):

f(3) = 2 · 3 – 5

f(3) = 6 – 5

f(3) = 1

Nesse caso, o ponto (3,1) pertence à f(x), logo o ponto D(1,3) pertence à inversa de f(x).  

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Resposta Questão 4

Se a função f- – 1(x) passa pelos pontos (2,5) e (3,0), a função f-(x) passa pelos pontos (5,2) e (0,3). Com isso, podemos encontrar a lei de formação da função.

Sabemos que y = ax + b e usando o segundo ponto (0,3), temos que x = 0 e y = 3.

3 = 0 · x + b

3 = b

b = 3

Então:

y = ax + 3

Conhecendo o valor de b, é possível encontrar o valor de a usando o ponto (5,2):
 


Logo, a lei de formação da função é:
 


Agora encontraremos o zero dessa função:
 

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Resposta Questão 5

Alternativa A.

Para encontrar a função inversa, trocaremos f(x) por x e x por y na lei de formação:


Por fim, basta trocar y por f – 1 (x):

f-1(x) = 2x – 2 – 3

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Resposta Questão 6

Alternativa A.

Verificaremos se a função é injetora e sobrejetora.

A sua lei de formação é f(x) = x² – 1. Primeiro verificaremos se ela é injetora. Para isso, calcularemos o valor numérico da função para os valores do domínio A.

f(0) = 0² – 1 = – 1

f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0

f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 3² – 1 = 9 – 1 = 8

Note que elementos distintos possuem imagem distinta, logo a função é injetora.

Agora vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto B. Note que isso também acontece, pois todo elemento do contradomínio B é imagem de um elemento no conjunto A, então a função é bijetora, logo ela é inversível.

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Resposta Questão 7

Alternativa D.

Trocando f(x) por x e x por y, temos que:

x = y3 + 2

Isolando o y:

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Resposta Questão 8

Alternativa C.

A lei de formação é:

y = 2x

Trocando x por y:

x = 2y

Aplicando logaritmo dos dois lados:

log2x = log22y

log2x = ylog22

log2x = y · 1

log2x = y

y = log2x

f – 1 (x) = log2x

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Resposta Questão 9

Alternativa E.

Seja x um número tal que f(x) = 2, então sabemos que f – 1(2) = x. Igualando f(x) a 2, temos que:

2x – 4 = 2

2x = 2 + 4

2x = 6

x = 6 : 2

x = 3

Sabemos que f(3) = 2 → f – 1 (2) = 3, logo f( f 1 (2)) = f(3), mas sabemos que f(3) = 2, então:

f( f 1 (2)) = 2

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Resposta Questão 10

Alternativa C.

I – Falsa.

Verificando se a função é injetora, temos que:

f( – 1) = ( – 1)² = 1

f(0) = 0² = 0

f(1) = 1² = 1

Note que a função não é injetora, pois f( – 1) = f(1).

II – Verdadeira.

Para todo elemento b do contradomínio B {0,1}, existe pelo menos um elemento no domínio tal que f(a) = b, logo a função é sobrejetora.

III – Falsa.

Como a função não é injetora, ela não pode ser bijetora.

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Resposta Questão 11

Alternativa C.

Se f – 1 (2) = 5 → f(5) = 2, então:
 

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Resposta Questão 12

 Alternativa D.

Primeiro encontraremos a função f(g(x)):

f(g(x)) = 3 (-2x + 1) - 2

f(g(x)) = -6x + 3 - 2

f(g(x)) = -6x + 1

Sabemos que f(g(k)) – 1 = 1, então f(g(1)) = k. Como queremos o valor de k, temos que:

f(g(x)) = -6x + 1

x = 1 e f(g(1)) = k

k = – 6· 1 + 1

k = – 6 + 1

k = – 5 

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