Exercícios sobre função inversa

Alternativa D.

Primeiro encontraremos a lei de formação da função inversa de f. Para isso, trocaremos x por y e f(x) por x na lei de formação:
 

Agora calcularemos o valor numérico para a função quando x = 7:
 

Alternativa C.

Dada a função f(x) = 5x – 10, para encontrar a sua inversa, vamos substituir x por y e f(x) por x. Então, temos que:

x = 5y – 10

Isolando o y:

  Alternativa D.

Dado o ponto do tipo (b,a), se ele pertence à função inversa de f(x), então o ponto (a,b) pertence à função f (x).

Para verificar à qual ponto pertence a inversa, basta calcular o valor numérico invertendo os valores do par ordenado.

• A ( 1, – 3) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (– 3,1) pertencerá à f(x). Verificando, temos que:

f (x) = 2x – 5

x = – 3 e y = 1

f( – 3) = 2 · (– 3) – 5

f( – 3) = – 6 – 5 = – 11

Note que o resultado tinha que ser 1, logo o ponto A não pertence à função inversa.

• B (4,5) — se ele pertencer à inversa, então o ponto (5,4) pertencerá à f(x):

f(5) = 2 · 5 – 5

f(5) = 10 – 5 = 5

Note que o resultado tinha que dar 4, logo o ponto não pertence à inversa de f.

• C (2,1) → (1,2) pertence à f(x):

f(1) = 2 · 1 – 5

f(1) = 2 – 5

f(1) = – 3

O ponto C não pertence à função inversa, pois o resultado tinha que ser 2.

• D (1,3) → (3,1) pertence à f(x):

f(3) = 2 · 3 – 5

f(3) = 6 – 5

f(3) = 1

Nesse caso, o ponto (3,1) pertence à f(x), logo o ponto D(1,3) pertence à inversa de f(x).  

Se a função f^{- – 1}(x) passa pelos pontos (2,5) e (3,0), a função f^-(x) passa pelos pontos (5,2) e (0,3). Com isso, podemos encontrar a lei de formação da função.

Sabemos que y = ax + b e usando o segundo ponto (0,3), temos que x = 0 e y = 3.

3 = 0 · x + b

3 = b

b = 3

Então:

y = ax + 3

Conhecendo o valor de b, é possível encontrar o valor de a usando o ponto (5,2):
 

Logo, a lei de formação da função é:
 

Agora encontraremos o zero dessa função:
 

Alternativa A.

Para encontrar a função inversa, trocaremos f(x) por x e x por y na lei de formação:

Por fim, basta trocar y por f ^{– 1} (x):

f^-1(x) = 2^{x – 2} – 3

Alternativa A.

Verificaremos se a função é injetora e sobrejetora.

A sua lei de formação é f(x) = x² – 1. Primeiro verificaremos se ela é injetora. Para isso, calcularemos o valor numérico da função para os valores do domínio A.

f(0) = 0² – 1 = – 1

f(1) = 1² – 1 = 1 – 1 = 0

f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3

f(3) = 3² – 1 = 9 – 1 = 8

Note que elementos distintos possuem imagem distinta, logo a função é injetora.

Agora vamos verificar se a função é sobrejetora. Para isso, não pode sobrar nenhum elemento no conjunto B. Note que isso também acontece, pois todo elemento do contradomínio B é imagem de um elemento no conjunto A, então a função é bijetora, logo ela é inversível.

Alternativa D.

Trocando f(x) por x e x por y, temos que:

x = y³ + 2

Isolando o y:

Alternativa C.

A lei de formação é:

y = 2^x

Trocando x por y:

x = 2^y

Aplicando logaritmo dos dois lados:

log₂x = log₂2^y

log₂x = ylog₂2

log₂x = y · 1

log₂x = y

y = log₂x

f ^{– 1} (x) = log₂x

Alternativa E.

Seja x um número tal que f(x) = 2, então sabemos que f ^{– 1}(2) = x. Igualando f(x) a 2, temos que:

2x – 4 = 2

2x = 2 + 4

2x = 6

x = 6 : 2

x = 3

Sabemos que f(3) = 2 → f ^{– 1} (2) = 3, logo f( f ^{– 1} (2)) = f(3), mas sabemos que f(3) = 2, então:

f( f ^{– 1} (2)) = 2

Alternativa C.

I – Falsa.

Verificando se a função é injetora, temos que:

f( – 1) = ( – 1)² = 1

f(0) = 0² = 0

f(1) = 1² = 1

Note que a função não é injetora, pois f( – 1) = f(1).

II – Verdadeira.

Para todo elemento b do contradomínio B {0,1}, existe pelo menos um elemento no domínio tal que f(a) = b, logo a função é sobrejetora.

III – Falsa.

Como a função não é injetora, ela não pode ser bijetora.

Alternativa C.

Se f ^{– 1} (2) = 5 → f(5) = 2, então:
 

 Alternativa D.

Primeiro encontraremos a função f(g(x)):

f(g(x)) = 3 (-2x + 1) - 2

f(g(x)) = -6x + 3 - 2

f(g(x)) = -6x + 1

Sabemos que f(g(k)) ^{– 1} = 1, então f(g(1)) = k. Como queremos o valor de k, temos que:

f(g(x)) = -6x + 1

x = 1 e f(g(1)) = k

k = – 6· 1 + 1

k = – 6 + 1

k = – 5