Questão 1
Marque a alternativa que contém a forma correta de calcular n!
A) n! = n + (n – 1) + (n – 2) + ... + 3 + 2 +1.
B) n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1.
C) n! = n – (n – 1) – (n – 2) – ... – 3 – 2 –1.
D) n! = n + (n – 1) – (n – 2) + ... – 3 + 2 –1.
E) n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 0.
Questão 4
Calcule o valor da expressão:
\(\frac{14!}{12!}\)
A) 216
B) 182
C) 108
D) 54
E) 27
Questão 5
Um supermercado possui 6 funcionários trabalhando no caixa ao mesmo tempo, antes de iniciar o intervalo. O intervalo dos funcionários é de 20 minutos para cada um deles, e eles tiram o intervalo um por vez, de modo que 5 caixas sempre fiquem funcionando. Quem determina a ordem desse intervalo é o gerente. O número de maneiras distintas que o gerente pode definir o intervalo desses funcionários é calculado por:
A) 6!
B) 5!
C) \(\frac{6!}{2}\)
D) 6!4!2!
E) \(\frac{5!}{1!4!}\)
Questão 6
Analise as afirmativas a seguir:
I. 3! – 1! = 2!
II. 5! + 3! = 8!
III. 3! ⋅ 4! = 12!
Marque a alternativa correta:
A) Somente a afirmativa I é verdadeira.
B) Somente a afirmativa II é verdadeira.
C) Somente a afirmativa III é verdadeira.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são falsas.
Questão 7
Simplificando a operação a seguir, temos que:
\(\frac{(n+1)!}{(n-1)!}-n^2\)
A) n
B) n!
C) n +1
D) n² + n
E) 2n
Questão 8
A soma de todos os números primos que dividem 20! é igual a:
A) 28
B) 39
C) 54
D) 69
E) 77
Questão 9
O produto das soluções da equação \(\frac{(x+3)!}{x!}=0\) é:
A) 0
B) – 5
C) 5
D) 6
E) – 6
Questão 10
(Enem) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @.
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam sempre juntas e exatamente nessa ordem.
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado.
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado?
A) 59
B) 60
C) 118
D) 119
E) 120
Questão 11
(Enem) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por:
A) 9!
B) 4!5!
C) 2 x 4! 5!
D) \(\frac{9!}2\)
E) \(\frac{4!5!}2\)
Questão 12
(Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama, e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
A) \( 20×8!+(3!)^2\)
B) \( 8! ×5! ×3!\)
C) \(\frac{8!×5!×3!}{2^8} \)
D) \(\frac{8!×5!×3!}{2^2} \)
E) \(\frac{16!}{28}\)
Resposta Questão 1
Alternativa B.
Sabemos que o fatorial de um número é o produto desse número pelos seus antecessores maiores que 0.
Resposta Questão 2
Alternativa D.
Primeiramente, calcularemos o fatorial de 4 para, depois, elevar esse resultado ao quadrado:
\((4!)^2=(4⋅3⋅2⋅1)^2=24^2=576\)
Resposta Questão 3
Alternativa A.
Sabemos que 120 = 5!, logo temos que:
\((4x-3)!=5!\)
Sendo assim, obtemos:
\(4x - 3 = 5\)
\(4x = 5 + 3 \)
\(4x = 8\)
\(x=\frac{8}4\)
\(x= 2 \)
Resposta Questão 4
Alternativa B.
Calculando o valor da expressão:
\(\frac{14!}{12!}=\frac{14⋅13⋅12!}{12!}=14⋅13=182\)
Resposta Questão 5
Alternativa A.
Sabemos que será escolhido 1 funcionário para ir primeiro dentre os 6 possíveis. Quando esse funcionário volta, será escolhido 1 entre os 5 funcionários que ainda não tiraram o intervalo e assim sucessivamente, até que o último funcionário também tire o intervalo. Então, o número de opções distintas que o gerente pode escolher para que os funcionários tirem os seus intervalos é:
\(6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=6!\)
Resposta Questão 6
Alternativa E.
Sabemos que a operação fatorial é prioritária em relação às demais operações apresentadas, então temos que:
\(3! - 1! = 6 - 1 = 5\)
\(5! + 3! = 120 + 6 = 126\)
\(3! ⋅4! = 6 ⋅24 = 144\)
Note que em nenhuma das afirmativas a igualdade é verdadeira, então todas as afirmativas são falsas.
Resposta Questão 7
Alternativa A.
\(\frac{(n+1)⋅n(n-1)!)}{(n-1)!}-n^2\)
\((n+1)⋅n-n^2\)
\(n^2+n-n^2\)
\(n\)
Resposta Questão 8
Alternativa E.
Sabemos que:
\(20!=20⋅19⋅18⋅17⋅16⋅15⋅14⋅13⋅12⋅11 ⋅10 ⋅9 ⋅8 ⋅7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1\)
Desse modo, podemos afirmar que 20! é divisível pelos números chamados primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19, pois todos são fatores de 20!, então a soma desses números é:
\(2+3+5+7+11+13+17+19=77\)
Resposta Questão 9
Alternativa E.
Simplificando a expressão:
\(\frac{(x+3)(x+2)(x+1)x!}{x!}=0\)
\((x+3)(x+2)(x+1)=0\)
Para que um produto seja igual a zero, um dos fatores tem que ser 0, então as possíveis soluções são:
x + 3 = 0
x = - 3
x + 2 = 0
x = - 2
x + 1 = 0
x = - 1
O produto dessas soluções é igual a \((-3)⋅(-2)⋅(-1)=- 6\).
Resposta Questão 10
Alternativa D.
Sabemos que o nome eduardo possui 7 letras. Entretanto, como edu sempre ficará junto, ordenaremos edu, a, r, d, o, ou seja, 5 elementos. O número de possibilidades então é calculado pelo fatorial de 5.
5! = 120
Sabemos que o e-mail eduardo@site.com.br já foi escolhido, então subtraindo 1 encontraremos o número de e-mails possíveis: 120 – 1 = 119.
Resposta Questão 11
Alternativa E.
Podemos observar que existem 4 vogais, A, E, I, O. Além disso, há 5 consoantes, M, P, T, T, R.
Como serão intercaladas uma consoante e uma vogal, escolheremos a ordem das vogais e à parte a ordem das consoantes.
Como são 4 vogais e sem repetição, o número de maneiras distintas que podemos ordenar as vogais é igual ao fatorial de 4, ou seja, 4!.
Como são 5 consoantes, com uma repetição, o número de maneiras distintas que podemos ordenar essas consoantes é \(\frac{5!}2\).
Então, o número de maneiras que podemos ordenar os elementos (as vogais e as consoantes) é:
\(4!⋅\frac{5!}2=\frac{4!5!}2\)
Resposta Questão 12
Alternativa B.
Serão locados 16 filmes, 2 por vez, logo o cliente locará filmes 8 vezes para assistir a todos.
O número de maneiras distintas que ele pode escolher o filme de ação é dado por 8!, e o número de maneiras distintas que ele pode escolher o filme de comédia nas 5 primeiras locações é dado por 5!.
Após alugar todos os filmes de comédia, ele alugará os de drama, que possuem 3! maneiras distintas de serem escolhidos. Então, já que ele escolherá um filme da ação e um segundo filme, de comédia e depois de drama, o número de maneiras distintas que esse cliente pode escolher esses filmes é calculado por:
\(8! ×5! ×3!\)