Exercícios sobre equação logarítmica

Vamos verificar as condições de existência dos logaritmos:

Sabendo que a subtração de logaritmos de mesma base pode ser expressa como um quociente, reescreveremos a equação da seguinte forma:

log₂ (3x + 10) – log₂ x = log₂ 5

Podemos desconsiderar os logaritmos e igualar os logaritmandos:

3x + 10 = 5
x      
5x = 3x + 10
5x – 3x = 10
2x = 10
x = 10
     2
x = 5

Portanto, o único valor de x para que a igualdade log₂ (3x + 10) – log₂ x = log₂ 5 seja válida é 5.

Vamos verificar as condições de existência do logaritmo:

Resolveremos a equação logarítmica pela propriedade básica do logaritmo:

log_{x + 3} (5x – 1) = 1
(5x – 1)¹ = x + 3
5x – 1 = x + 3
5x – x = 3 + 1
4x = 4
x = 4
      4
x = 1

A única solução possível para log_{x + 3} (5x – 1) = 1 é x = 1.

Podemos aplicar a propriedade básica dos logaritmos:

log₂ (12 – 2^x) = 2x
2^2x = 12 – 2^x
(2^x)² = 12 – 2^x

Com 2^x = y, teremos a seguinte equação:

y² = 12 – y
y² + y – 12 = 0

Chegamos a uma equação do 2° grau. Para resolvê-la, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49

y = – b ± √Δ
     2.a

y = – 1 ± √49
      2.1

y = – 1 ± 7
      2

y₁ = – 1 + 7 = 6 = 3
       2       2

y₂ = – 1 – 7 = – 8 = – 4
  2         2

Vamos agora resolver a equação 2^x = y:

Note que a solução log₂ (– 4) = x não é válida porque o logaritmando não pode ser menor do que zero. Portanto, a única solução possível é log₂ 3 = x. Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

Verificando as condições de existência do logaritmo, temos:

Podemos reescrever o logaritmo como um quociente de logaritmos:

O logaritmo negativo de um número, por sua vez, pode ser expresso como o logaritmo positivo do inverso desse número:

Podemos agora descartar os logaritmos e manter a igualdade entre os logaritmandos:

1 = 2x
   5   x + 1
10x = x + 1
10x – x = 1
9x = 1
x = 1
      9

Portanto, a alternativa correta é a letra a.