Exercícios sobre Soma e Produto em uma Equação do 2° Grau

Antes de tentar resolver a equação, vamos operar a soma de frações ¹/_m + ¹/_n:

1 + 1 = n + m
m   n      m.n 

Para realizar essa soma, não precisamos saber exatamente qual é o valor das raízes m e n da equação, basta utilizar as Relações de Girard, isto é, encontrar o valor da soma e do produto dessas raízes. Na equação x² – 6x + 10 = 0, temos os coeficientes a = 1, b = – 6 e c = 10. Para determinar a soma S, fazemos:

S = – b
      a

S = – (– 6)
      1

S = 6

A soma das raízes m e n resulta em 6. Vamos agora encontrar o produto P:

P = c
      a

P = 10
      1

P = 10

O produto m.n é igual a 10. Podemos então calcular o quociente pedido no exercício:

n + m = 6 = 3
  m.n    10   5

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

Vamos aplicar as relações de soma e produto para resolver essa equação do 2° grau. Para tanto, vale ressaltar que os coeficientes da equação são a = 1, b = – 3k e c = k². Através da soma das raízes, temos S:

S = – b
      a

S = – (– 3k)
      1

S = 3k

Temos também o produto das raízes definido por:

P = c
      a

P = k²
     1

P = k²

O enunciado do problema identifica as raízes da equação como a e b. A partir dos cálculos que fizemos acima, podemos afirmar que a + b = 3k e a.b = k². Vamos elevar a soma das raízes ao quadrado, isto é:

(a + b)² = (3k)²

a² + 2ab + b² = 9k²

Mas acabamos de discutir que o produto das raízes é a.b = k². Substituindo essa informação na equação anterior, temos:

a² + 2(k²) + b² = 9k²

a² + 2k² + b² = 9k²

a² + b² = 9k² – 2k²

a² + b² = 7k²

Novamente, de acordo com o enunciado, temos que a² + b² = 1,75. Substituindo esse valor na equação, temos:

a² + b² = 7k²

1,75 = 7k²

k² = 1,75
      7

k² = 0,25

Portanto, a alternativa correta é a letra e.

Vamos inicialmente determinar o valor da soma e do produto das raízes da equação nx² + 2x – 3n = 0, sabendo que seus coeficientes são a = n, b = 2 e c = – 3n:

S = – b
      a

S = – (2)
      n

S = ^{– 2}/_n

P = c
      a

P = – 3n
      n

P = – 3

Vamos então calcular (S + P)² = 0, substituindo os valores encontrados de S = ^{– 2}/_n e P = – 3:

(S + P)² = 0
S² + 2.S.P + P² = 0
(^{– 2}/_n)² + 2.(^{– 2}/_n).(– 3) + (– 3)² = 0
4 + 12 + 9 = 0
n²    n            

Encontrando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores, temos:

4 + 12n + 9n² = 0
n²     
9n² + 12n + 4 = 0

Há uma nova equação do segundo grau cujos coeficientes são a = 9, b = 12 e c = 4. Utilizando a fórmula de Bhaskara, temos:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 12² – 4.9.4

Δ = 144 – 144

Δ = 0

n = – b ± √Δ
      2.a

n = – 12 ± √0
      2.9

n = – 12 ± 0
      18

n = – 2
       3

Sendo assim, o valor de n procurado é ^{– 2}/₃.

A ideia da soma e produto das raízes de uma equação do 2° grau permite identificar a equação quando esta é desconhecida. Seja S a soma das raízes e P o produto das raízes da equação, podemos definir a equação como x² – Sx + P = 0. Vamos então encontrar os valores de S e P:

S = 3 + (– 7) = – 4
P = 3.(– 7) = – 21

Substituindo os valores encontrados em x² – Sx + P = 0, teremos:

x² – (– 4).x + (– 21) = 0
x² + 4x – 21 = 0

Então, a equação procurada é x² + 4x – 21 = 0.