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Exercícios sobre semelhança de triângulos

Esta lista de exercícios apresenta questões sobre semelhança de triângulos, assunto fundamental para entender melhor a geometria plana e a trigonometria.

Questão 1

 Sobre os triângulos semelhantes, julgue as afirmativas a seguir.

I → Ao comparar os triângulos ABC e DEF, eles serão semelhantes se os seus lados forem proporcionais.

II → Os lados de dois triângulos semelhantes são necessariamente congruentes.

III → Se existem dois triângulos congruentes, então eles são semelhantes.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 

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Questão 2

Renata quer calcular a altura da sua caixa d’água. Para isso, durante o dia, ela observou a sombra de um pedaço de madeira reto ao lado da caixa d’água e mediu o comprimento da sombra, que era de 0,6 metro. Já a sombra da caixa d’água era de 3,40 metros, conforme a imagem a seguir:

Ilustração traz comparação entre sombra projetada por pedaço de madeira e sobra projetada por caixa d’água

Sabendo que a altura do pedaço de madeira era de 1,4 metro, então a altura da caixa d’água é de:

A) 9,1 metros.

B) 8,5 metros.

C) 8,2 metros.

D) 8,0 metros.

E) 7,9 metros.

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Questão 3

Dado o triângulo a seguir e sabendo que o segmento DE é paralelo à base CB e que AC mede 10 cm, AD mede 4 cm e AE é igual a 5 cm, então podemos afirmar que o segmento BE mede:

Triângulo com segmentos proporcionais

A) 11 cm.

B) 10,5 cm.

C) 9,5 cm.

D) 8,0 cm.

E) 7,5 cm.

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Questão 4

(Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

 Triângulos proporcionais ligados por haste

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

A) 1 m

B) 2 m

C) 2,4 m

D) 3 m

E) 2√6 m

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Questão 5

Os triângulos ABC e DFE são triângulos semelhantes. Sabendo que a razão de semelhança entre os triângulos ABC e DFE é 2, então a soma do perímetro desses triângulos é igual a:

Dois triângulos semelhantes dispostos lado a lado

A) 16, 1 cm

B) 32, 2 cm

C) 36,4 cm

D) 48,3 cm

E) 52,9 cm

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Questão 6

(PUC-Campinas) Os triângulos MIL e MKJ, representados na figura a seguir, são semelhantes, sendo os ângulos L e J congruentes.

Triângulos MIL e MKJ

Se IL = 16 cm, ML = 20 cm, MJ = 10 cm e MK = 10,4 cm, o perímetro do quadrilátero ILKJ, em centímetros, é:

A) 32,6.

B) 36,4.

C) 40,8.

D) 42,6.

E) 44,4.

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Questão 7

Analisando os triângulos, podemos afirmar que:

Dois triângulos dispostos lado a lado, sendo um maior que o outro, e com valores de seus ângulos discriminados

A) Eles são semelhantes por terem lados congruentes e ângulos congruentes.

B) Eles são semelhantes por terem ângulos congruentes e lados congruentes.

C) Eles são congruentes pelo caso lado, lado e lado.

D) Eles são congruentes pelo caso ângulo, lado e ângulo.

E) Eles não são congruentes pelo caso ângulo, ângulo e ângulo.

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Questão 8

(Unesp) A sombra de um prédio, em um terreno plano, em uma determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5 m mede 3 m. A altura do prédio, em metros, é:

A) 25

B) 29

C) 30

D) 45

E) 75

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Questão 9

Analisando os triângulos BCD e EFD a seguir e sabendo que a medida dos seus lados foi dada em centímetros, então a medida do segmento FC é igual a:

Triângulos BCD e EFD

A) 6 cm.

B) 8 cm.

C) 9 cm.

D) 10 cm.

E) 15 cm.

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Questão 10

(Cefet 2015) A ilustração a seguir representa uma mesa de sinuca retangular, de largura e comprimento iguais a 1,5 e 2,0 m, respectivamente. Um jogador deve lançar a bola branca do ponto B e acertar a preta no ponto P, sem acertar em nenhuma outra, antes. Como a amarela está no ponto A, esse jogador lançará a bola branca até o ponto L, de modo que a mesma possa rebater e colidir com a preta.

Ilustração mostra triângulo formado a partir de jogada em mesa de sinuca

Se o ângulo da trajetória de incidência da bola na lateral da mesa e o ângulo de rebatimento são iguais, como mostra a figura, então a distância de P a Q, em cm, é aproximadamente:

A) 67

B) 70

C) 74

D) 81

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Questão 11

Analisando os triângulos a seguir, sabendo que AB é paralelo a DC, então podemos afirmar que x é igual a:

Triângulos semelhantes ligados pelo ponto E

A) 9,2

B) 9,6

C) 10, 5

D) 10,8

E) 11,0

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Questão 12

Sobre a semelhança de triângulos, julgue as afirmativas a seguir:

I → Dois triângulos retângulos sempre serão semelhantes.

II → Os triângulos são semelhantes quando um deles é ampliação ou redução do outro, sem nenhuma distorção nos seus lados e ângulos.

III → É possível que dois triângulos não sejam semelhantes mesmo tendo dois ângulos congruentes.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente a afirmativa I é falsa.

E) Somente a afirmativa II é falsa.

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa D.

I → Verdadeira. Para que os triângulos sejam semelhantes, os lados devem ser proporcionais.

II → Falsa. Para que os triângulos sejam semelhantes, os lados podem não ser congruentes.

III → Verdadeira, pois dois triângulos congruentes também são semelhantes.

 

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Resposta Questão 2

Alternativa E.

Os triângulos são semelhantes, pois os ângulos internos são congruentes. Então, seja x a altura da caixa d’água, por semelhança de triângulos, temos que:

Cálculo de altura de caixa d´água por semelhança de triângulos

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Resposta Questão 3

Alternativa E.

Como as bases são paralelas, o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ACB.

Por semelhança, primeiro encontraremos o valor de AB, logo:

Cálculo de valor de lado AB por semelhança de triângulos

Sabemos que AB = AE + BE, logo:

12,5 = 5 + BE

12,5 – 5 = BE

7,5 = BE

BE = 7,5

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Resposta Questão 4

Alternativa C.

Os triângulos FEB e ACB são semelhantes, pois os seus ângulos são congruentes, então:

Relações de proporcionalidade entre lados de triângulos

Por outro lado, os triângulos FEA e BDA também são semelhantes, pois os ângulos são congruentes, logo podemos escrever a seguinte razão:

Razões advinhas de proporcionalidade entre lados de triângulos

Somando a primeira com a segunda razão, temos que:

Soma da primeira e segunda razão

Mas FE + FB = AB:

Cálculo do valor do segmento EF

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Resposta Questão 5

Alternativa D.

Como a razão de proporção é igual a 2, os lados do triângulo maior são o dobro dos lados do triângulo menor.

Então, vamos encontrar o lado AB do triângulo maior:

AB = 2FD

AB = 2 · 4,5

AB = 9

O perímetro do triângulo maior (PM) é:

PM = 12 + 11,2 + 9 = 32,2

Como os lados do triângulo menor são metade dos lados do triângulo maior, consequentemente o perímetro do triângulo menor (Pm) será metade do perímetro do triângulo maior, ou seja:

32,2 : 2 = 16,1 cm

Então, a soma dos perímetros é:

32,2 + 16,1 = 48,3 cm

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Resposta Questão 6

Alternativa E.

O perímetro é a soma de todos os lados:

P = IL + LK + KJ + IJ

Conhecemos o valor de IL = 16:

P = 16 + LK + KJ + IJ

Sabemos também que:

LK = ML – MK

LK = 20 – 10,4

LK = 9,6

Para encontrar KJ, temos que:

Cálculo do valor do segmento KJ

Para encontrar o valor de IJ, temos que:

Cálculo do valor do segmento MI

Pelo valor de MI, podemos encontrar IJ, pois

MI = IJ + MJ

20,8 = IJ + 10

20,8 – 10 = IJ

IJ = 10,8.

Logo, o perímetro P é:

P = 16 + 9,6 + 8 + 10,8 = 44,4 cm

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Resposta Questão 7

Alternativa B.

Podemos perceber que eles possuem três ângulos iguais, porém a medida dos lados não é a mesma, pois o triângulo ABC possui lados maiores que o triângulo DEF, então eles são semelhantes pelo fato de possuírem ângulos congruentes. Podemos concluir então que eles são semelhantes por terem ângulos congruentes e lados não congruentes.

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Resposta Questão 8

 Alternativa A.

Podemos representar a situação por meio de um desenho:

Ilustração de triângulos formados a partir da sombra de prédio e sombra de poste

Seja x a altura do prédio, por semelhança de triângulos, temos que:

Cálculo do valor de altura de prédio por semelhança de triângulos

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Resposta Questão 9

Alternativa C.

Os triângulos possuem ângulos congruentes, logo eles são semelhantes.

Primeiro encontraremos o comprimento do lado CD:

Cálculo do valor do lado CD

Sabemos que CD = DF + FC:

15 = 6 + FC

15 – 6 = FC

9 = FC

FC = 9

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Resposta Questão 10

Alternativa A.

Sabemos que a base do retângulo mede 2 metros, então:

QL = 2 – 1,2 = 0,8

Conhecendo o valor de QL, por semelhança de triângulos, temos que:

Cálculo do valor do segmento PQ

Como a medida está em metros, vamos multiplicar por 100 para transformá-la em centímetros:

PQ = 0,66… · 100

PQ = 66,66…

Arredondando, temos que:

PQ = 67

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Resposta Questão 11

Alternativa A.

Por semelhança de triângulo, temos que:

Cálculo do valor de lado x

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Resposta Questão 12

 Alternativa B.

I → Falsa.

Dois triângulos retângulos podem ou não ser semelhantes, dependendo da medida dos seus demais ângulos e lados.

II → Verdadeira.

Se ampliarmos ou reduzirmos o triângulo de forma proporcional, ele será semelhante ao triângulo anterior.

III → Falsa.

Se dois ângulos são congruentes, então os triângulos são semelhantes. 

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