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Exercícios sobre razões trigonométricas

Para a resolução destes exercícios sobre razões trigonométricas, devem ser empregadas as fórmulas de seno, cosseno e hipotenusa.

Questão 1

Analisando o triângulo retângulo, com suas medidas dadas em centímetros, podemos afirmar que o valor do seno do ângulo ꞵ é igual a:

A) 3/5

B) 4/5

C) 5/4

D) 4/3

E) 3/4

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Questão 2

Um engenheiro foi contratado para calcular a altura de um prédio sem subir nele. A uma distância de 40 metros, constatou-se que era possível construir o seguinte triângulo retângulo:

Podemos afirmar que a altura do prédio é de, aproximadamente:

(Dados: use √3 = 1,7)

A) 20 m

B) 21,5 m

C) 22,7 m

D) 23 m

E) 23,8 m

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Questão 3

No triângulo retângulo a seguir, sabendo que seus lados estão medidos em metros, o valor do cosseno do ângulo ɑ é:

A) 0,96

B) 0,38

C) 0,40

D) 1,04

E) 2,60

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Questão 4

Qual deve ser o valor do seno de um ângulo, sabendo que ele se encontra no primeiro quadrante e que o cosseno desse mesmo ângulo é igual a 3/5.

A) 4/5

B) 2/5

C) 3/4

D) 1/5

E) 2/3

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Questão 5

Um avião levantou voo, formando um ângulo de 20º com o solo, e atingiu uma altura de 1368 metros. A distância percorrida pelo avião, em metros quadrados, foi de:

(Use: sen 20º = 0,342; cos 20º = 0,94; tg 20º = 0,364)

A) 2 km

B) 3 km

C) 4 km

D) 5 km

E) 6 km

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Questão 6

Um terreno possui o formato de um retângulo cuja base mede 8 cm, sabendo que o ângulo formado entre a base e a diagonal é de 30º, qual o valor que mais se aproxima da diagonal? (Use √3 = 1,7)

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

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Questão 7

O valor do comprimento base de um triângulo retângulo isósceles em que os lados adjacentes à base medem 6√2 cm é:

A) 15 cm

B) 12 cm

C) 10 cm

D) 8 cm

E) 6 cm

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Questão 8

Uma tirolesa será feita em uma montanha que possui 100 metros de altura. Sabendo que ela será amarrada de tal modo que forme com o chão um ângulo de 30º, qual deve ser o tamanho do cabo da tirolesa?

A) 100 m

B) 125 m

C) 150 m

D) 175 m

E) 200 m

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Questão 9

As torres Puerta de Europa, construídas numa avenida de Madri, na Espanha, são inclinadas uma contra a outra. A inclinação das torres é de 15° com a vertical, e elas têm, cada uma, altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada, e uma delas pode ser observada na imagem.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

A) menor que 100 m².

B) entre 100 m² e 300 m².

C) entre 300 m² e 500 m².

D) entre 500 m² e 700 m².

E) maior que 700 m².

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Questão 10

(Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a:
(Considere √3/3 = 0,58)

A) 50%

B) 43%

C) 37%

D) 33%

E) 19%

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Questão 11

(Cesgranrio) Uma escada de 2 m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical. Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:

A) 0,5 m

B) 1 m

C) 1,5 m

D) 1,7 m

E) 2 m

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Questão 12

(Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira, eleva-se verticalmente de:

A) 6√3 m.

B) 12 m.

C) 13,6 m.

D) 9√3 m.

E) 18 m.

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B

Sabemos que o seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Analisando a imagem, sabemos que o cateto oposto ao ângulo ꞵ mede 12 e a hipotenusa mede 15, então, temos que:

 

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Resposta Questão 2

Alternativa C

Analisando a imagem, podemos construir o seguinte triângulo retângulo:

Para encontrar o valor de h, que é cateto oposto ao ângulo de que conhecemos o valor, utilizaremos a tangente, pois queremos o cateto oposto e conhecemos o cateto adjacente. Consultando a tabela, é possível encontrar o valor da tangente, então temos que:

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Resposta Questão 3

Alternativa A

Analisando o ângulo ɑ, sabemos que o cosseno dele é o cateto adjacente, que mede 25 m, dividido pela hipotenusa, que mede 26 m.

 

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Resposta Questão 4

Alternativa A

Utilizando a relação fundamental da trigonometria, temos que:

sen²x + cos²x = 1

Então, substituindo o valor do cosseno, basta resolver a equação:

 

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Resposta Questão 5

Alternativa C

Primeiro construiremos a imagem que representa a situação:

 

A razão trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa é o seno, então, temos que:

x = 4 km

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Resposta Questão 6

Alternativa E

Sabemos que a diagonal divide o ângulo, formando um ângulo de 30º com a base, vamos representar essa situação:

Seja x a diagonal, calculando o cos x, temos que:

 

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Resposta Questão 7

Alternativa B

Primeiro faremos o esboço do triângulo. Como ele é retângulo, um dos seus ângulos é igual a 90º, como a soma dos três ângulos é igual a 180º e o triângulo também é isósceles, então os ângulos da base medem 45º.

Como queremos encontrar o valor de b, nesse caso, tanto faz entre calcular o seno ou o cosseno de dos ângulos:

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Resposta Questão 8

Alternativa E

Sabemos que a altura é igual a 100 metros e que é oposta ao ângulo de 30º, então, utilizaremos seno de 30º para encontrar a hipotenusa.

 

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Resposta Questão 9

Alternativa E

O seguimento AB divide o prédio em dois triângulos retângulos, sabendo que o ângulo B é igual a 15º e que conhecemos o cateto adjacente a ele, é possível calcular o tamanho da base utilizando a tangente.

 

 

Como a base é um quadrado, sua área será 29,64² = 878,53.

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Resposta Questão 10

Alternativa E

Para encontrar a área do terreno do João, sabemos que o ângulo reto foi dividido em 3 partes iguais, logo, o ângulo representado pela região de extração de ouro é de 30º. Conhecemos a altura de 2 km do terreno, então, vamos calcular o cateto oposto ao ângulo utilizando a tangente.

 

 

A área do João, Aj, é dada pelo produto entre a base e a altura dividido por dois, e a área do retângulo At é dada pelo produto entre a base e a altura. Para calcular a porcentagem, basta calcular a razão entre Aj e At.

At = 2 · 3 = 6

 

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Resposta Questão 11

Alternativa B

Analisando a situação, podemos representá-la por um triângulo retângulo, em que a sua hipotenusa vale 2 m, conforme a imagem a seguir:

Aplicando o seno, é possível encontrar o valor de x:

 

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Resposta Questão 12

Alternativa E

Para resolver a situação, construiremos o triângulo retângulo:

A altura da rampa, na imagem representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 30º. A razão que utiliza cateto oposto e hipotenusa é o seno. Então, temos que:

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