Exercícios sobre Propriedades Operatórias dos Logaritmos

Aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos, temos que:

log √a = log a^1/2 = 1 .log a
                     2

log √a = 1,236

1 .log a = 1,236
2                       

log a = 2,472

Se log a = 2,472, então podemos calcular log ³√a:

log ³√a = log a^1/3 = 1 .log a = 2,472 = 0,824
                 3                  3

A alternativa correta é a letra b.

a) Aplicando a propriedade operatória do logaritmo do produto e sabendo que 2.5 = 10, temos:

log 10 = log (2.5) = log 2 + log 5 = x + z

Portanto, log 10 = x + z.

b) Para determinarmos log 27, vamos utilizar o logaritmo da potência, uma vez que 27 = 3³. Sendo assim, temos:

log 27 = log 3³ = 3.log 3 = 3.y

Então, log 27 = 3y.

c) Precisamos encontrar uma forma de representar o número 7,5 em função de 2, 3 e 5. Passando para a forma fracionária ⁷⁵/₁₀, podemos simplificá-lo por 5 e teremos a fração ¹⁵/₂. Sabemos ainda que 15 é o produto entre 3 e 5. Podemos fazer então:

log 7,5 = log 15 = log 3 . log 5 = log 3 + log 5 – log 2 = y + z – x
2          log 2                                       

Portanto, log 7,5 = y + z – x.

Aplicando todas as propriedades operatórias do logaritmo, temos:

log_x a = log_x n.x².m^-3.
                y⁴.√z

log_x a = (log_x n + log_x x² + log_x m^-3) – (log_x y⁴ + log_x √z)

log_x a = log_x n + log_x x² + log_x m^-3 – log_x y⁴ – log_x z^1/2

Aplicando agora a propriedade do logaritmo da potência aos logaritmos destacados, temos:

log_x a = log_x n + 2.log_x x – 3.log_x m – 4.log_x y – 1 .log_x z
                                                                2

Sabemos que log_x x = 1, logo:

log_x a = log_x n + 2.1 – 3.log_x m – 4.log_x y – 1 .log_x z
                                                         2

log_x a = 2 + log_x n – 3.log_x m – 4.log_x y – 1 .log_x z
                                                      2 

Vamos calcular individualmente cada um dos logaritmos:

1º) log₂ 0,5 = x
2^x = 0,5
x = – 1

2º) log₃ √3 = y
3^y = √3
y = ½

3°) log₄ 8 = z
4^z = 8
(2)²^z = 2³
2z = 3
z = 3/2

Somando todos os valores encontrados, temos:

log₂ 0,5 + log₃ √3 + log₄ 8
– 1 + 1/2 + 3/2
– 2 + 1 + 3
2
2
2
1

Portanto, a alternativa correta é a letra a.