Exercícios sobre propriedades dos números pares e ímpares

Um número ímpar é representado pela expressão 2n + 1 (n é um número inteiro não negativo). Supondo que o primeiro número dessa sequência seja justamente 2n + 1, o próximo número ímpar será 2n + 1 + 2 = 2n + 3. O próximo será 2n + 5 e assim por diante. A soma dos cinco números ímpares dessa sequência pode ser representada pela equação a seguir:

2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 135

Simplificando os termos, teremos:

10n + 25 = 135

Resolvendo a equação resultante, teremos:

10n = 135 – 25
10n = 110
n = 11

Encontramos o valor de n. Para encontrar o primeiro número ímpar, basta substituir seu valor em 2n + 1 e, para encontrar o último, basta substituir o valor de n em 2n + 9. Assim:

2n + 1 =
2·11 + 1 =
22 + 1 =
23

2n + 9 =
2·11 + 9 =
22 + 9 =
31

A soma entre 23 e 31 é:

23 + 31 = 54

Gabarito: Alternativa D.

a) Falsa!
A soma entre números pares sempre resulta em um número par.

b) Verdadeira!
Observe a soma dos números ímpares 2n + 1, 2m + 1 e 2k + 1:

2n + 1 + 2m + 1 + 2k + 1 =
2(n + m + k) + 3 =
2[(n + m + k) + 3] + 1

Fazendo (n + m + k) + 3 = g somente para simplificar a escrita, teremos:

2[(n + m + k) + 3] + 1 = 2g + 1

O resultado é um número ímpar. Assim, a soma entre três números ímpares quaisquer sempre é um número ímpar.

c) Falsa!
Como mostrado no item anterior, nem sempre a soma entre números resulta em um número par.

d) Falsa!
A soma entre um número par e um número ímpar é um número ímpar.

e) Falsa!

Gabarito: Alternativa B.

Seja 2n + 1 o primeiro número ímpar dessa sequência, os próximos números serão: 2n + 3 e 2n + 5. O produto entre eles pode ser calculado pela propriedade distributiva da seguinte maneira:

(2n + 1)(2n + 3)(2n + 5) =
(4n² + 6n + 2n + 3)(2n+5) =
(4n² + 8n + 3)(2n+5) =
8n³ + 20n² + 16n² + 40n + 6n + 15 =

8n³ + 36n² + 46n + 15 =
2(4n³ + 18n² + 23n) + 14 + 1
2(4n³ + 18n² + 23n) + 2·7 + 1
2[(4n³ + 18n² + 23n) + 7] + 1

Fazendo [(4n³ + 18n² + 23n) + 7] = k, teremos:

2k + 1

O resultado é um número ímpar.

Gabarito: Alternativa E.

Os números pares serão representados por 2n e 2m. Os números ímpares serão representados por 2k + 1 e 2p + 1. A expressão deve ser construída da seguinte maneira:

2n·2m + (2k + 1)(2p + 1)
2n·2m + 4kp + 2k + 2p + 1
2(2mn + 2kp + k + p) + 1

Trocando (2mn + 2kp + k + p) por g, teremos:

2g + 1

Logo, a situação acima resulta em um número ímpar.

Esse problema poderia ter sido resolvido sem cálculo algum, pensando apenas nas propriedades existentes entre números pares e ímpares. A primeira parcela teria como resultado um número par, pois o produto entre números pares tem outro número par como resultado. A segunda resultaria em um número ímpar, pois o produto entre números ímpares tem um número ímpar como resultado. A soma entre os resultados das duas parcelas teria como resultado um número ímpar, pois a soma entre um número ímpar e um número par é um número ímpar.

Gabarito: Alternativa A.