Exercícios sobre Progressões

Apesar de a sequência apresentar apenas dois elementos, já podemos destacar dois termos importantes. Temos o primeiro elemento (a₁ = 3) e ainda a razão, que é dada pela diferença de um termo pelo termo imediatamente anterior. Portanto, a razão r é dada por r = 7 – 3 = 4. Dessa forma, é possível determinar a fórmula de seu termo geral:

a_n = a₁ + (n – 1).r
a_n = 3 + (n – 1).4
a_n = 3 + 4n – 4
a_n = 4n – 1

Então, o termo geral da PA (3, 7, …) é a_n = 4n – 1. 

As informações das quais dispomos são que n = 20, S_n = 500 e a₁ = 5. Vamos utilizar a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para encontrar o último termo dessa sequência:

S_n = (a₁ + a_n).n
        2
500 = (5 + a₂₀).20
         2
500.2= (5 + a₂₀).20

1000 = 100 + 20.a₂₀

1000 – 100 = 20.a₂₀

900 = 20.a₂₀

a₂₀ = 900
         20

a₂₀ = 45

Vamos agora utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o valor da razão r:

a_n = a₁ + (n – 1).r
45 = 5 + (20 – 1).r
45 – 5 = 19.r
r = 40 ≈ 2
19

Portanto, a razão dessa PA é de aproximadamente 2 cm.

Se a soma dos 15 primeiros termos é 150, na fórmula da soma de uma PA, teremos que S_n = 150 e n = 15. Logo:

S_n = (a₁ + a_n).n
              2
150 = (a₁ + a₁₅).15
                 2
300 = (a₁ + a₁₅).15
300 = a₁ + a₁₅
15                
a₁ + a₁₅ = 20

Nesse exercício, não temos determinada a razão da progressão aritmética. Portanto, utilizaremos uma ideia que pode facilmente ser demonstrada em uma progressão aritmética qualquer. Um elemento da sequência é igual à média aritmética do elemento que o antecede e do elemento que o sucede. Por exemplo, dada a progressão aritmética A_n = (a₁, a₂, …, a_n-1, a_n, a_n+1), temos que:

A_n = a_n-1 + a_n-2
            2

Sendo assim, podemos dizer que:

A₈ = a₇ + a₉
         2

Além disso, em uma progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é igual. Para esse exercício, temos a sequência:

A_n = (a₁, a₂, a₃, a₄, a_5, a₆, a₇, a₈, a₉, a_10, a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₁₄, a₁₅)

a₁ + a₁₅ = a₂ + a₁₄ = a₃ + a₁₃ = … = a₇ + a₉

Retornando às equações anteriores, podemos então reescrever o termo A_8, substituindo a soma “a₇ + a₉” por “a₁ + a₁₅”, que é equivalente, portanto:

A₈ = a₁ + a₁₅
        2
A₈ = 20
        2
A₈ = 10

A alternativa correta é a letra a.

Para regar a primeira roseira, o jardineiro está próximo à torneira e precisa andar 50 m para chegar à roseira e outros 50 m para retornar à torneira, andando nesse primeiro momento 100 metros.

Novamente, o jardineiro sairá de próximo da torneira e andará 50 m até a primeira roseira e mais dois metros até a segunda roseira para então retornar, andando assim outros 52 metros de volta, o que totaliza 104 metros de caminhada.

Para regar a terceira roseira, o jardineiro fará o mesmo percurso que acabara de fazer com o acréscimo de dois metros na ida e dois metros na volta, em decorrência da distância entre a segunda e a terceira roseira, totalizando 108 metros de percurso.

O trajeto percorrido pelo jardineiro pode ser considerado uma progressão aritmética de razão 4, observe:

A₁₀ = (100, 104, 108, …, a₁₀)

Vamos identificar o último termo dessa sequência, que corresponde ao trajeto do jardineiro ao regar a décima roseira. Utilizaremos a fórmula do termo geral para encontrar o a_10.

a_n = a₁ + (n – 1).r
a₁₀ = a₁ + (10 – 1).r
a₁₀ = 100 + 9.r
a₁₀ = 100 + 9.4
a₁₀ = 100 + 36
a₁₀ = 136

Se queremos saber o percurso total percorrido pelo jardineiro, podemos calcular a soma dos termos dessa progressão aritmética:

S₁₀ = (a₁ + a₁₀).10
        2
S₁₀ = (100 + 136).10
         2
S₁₀ = 236.5
S₁₀ = 1.180

Portanto, a alternativa que corresponde ao percurso total feito pelo jardineiro é a letra b.

a) Se nós organizarmos a quantidade de madeiras em cada pilha, teremos formada uma progressão geométrica (1, 2, 4,...). Vamos identificar a razão dessa PG:

q = a₂
       a₁
q = ²/₁
q = 2

Agora que já identificamos que a razão da PG é 2, podemos utilizar a fórmula do termo geral para saber quantas tábuas haverá na nona pilha:

a_n = a₁.q^{n – 1}
a₉ = a₁.q⁸
a₉ = 1 . 2⁸
a₉ = 256

A nona pilha será composta por 256 tábuas.

b) Se cada tábua possui 0,5 cm de espessura, basta multiplicar esse valor pela quantidade de tábuas da nona pilha. Portanto, 0,5 . 256 = 128 cm ou 1,28 m.

Vamos identificar a razão q dessa PG:

q = a₂
     a₁
q = 3
     1
q = 3

Identificada a razão q = 3, vamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos:

S_n = a₁(qⁿ – 1)
         q – 1
S₁₀ = 1(3¹⁰ – 1)
         3 – 1
S_n = 59049 – 1
        3 – 1
S_n = 59048
       2
S_n = 29524