Exercícios sobre Potências de i

Antes de calcular o valor da expressão, vamos resolver cada potência de i, dividindo seus expoentes por 4 para reduzi-los a potências que possuem cálculo mais fácil.

Resolvendo a expressão, temos:

i¹²⁵ – i¹²⁶ + i¹²⁷ – i¹²⁸

i – (– 1) + (– i) – 1

i + 1 – i – 1

0

Portanto, i¹²⁵ – i¹²⁶ + i¹²⁷ – i¹²⁸ = 0.

a) z = (1 + i)²⁰

Podemos reescrever z substituindo o expoente 20 pelo produto 2 . 10:

z = (1 + i)²⁰
z = [(1 + i)²]¹⁰
z = (1² + 2i + i²)¹⁰
z = (1 + 2i – 1)¹⁰
z = (2i)¹⁰
z = 2¹⁰ . i¹⁰

É fácil ver que 2¹⁰ = 1024. Vejamos agora quanto vale i¹⁰:

i¹⁰ = (i⁵)²
i¹⁰ = (i² . i² . i)²
i¹⁰ = [(– 1) . (– 1) . i]²
i¹⁰ = (1 . i)²
i¹⁰ = i²
i¹⁰ = – 1

Então:

z = 2¹⁰ . i¹⁰
z = 1024 . (– 1)
z = – 1024

Portanto, z = (1 + i)²⁰ = – 1024.

b) z = (1 – 2i)⁸

Reescrevendo z como potência de potência, temos:

z = (1 – 2i)⁸
z = [(1 – 2i)²]⁴
z = (1² – 2.2i + 4i²)⁴
z = (1 – 4i – 4)⁴
z = (– 3 – 4i)⁴

Novamente, considerando z como potência de potência:

z = (– 3 – 4i)⁴
z = [(– 3 – 4i)²]²
z = (9 + 2.(– 3).(–4i) + 16i²)²
z = (9 + 24i – 16)²
z = (– 7 + 24i)²

Aplicando o produto notável do quadrado da soma:

z = (– 7 + 24i)²
z = 49 + 2.(– 7).(24i) + (24i)²
z = 49 – 336i + 576i²
z = 49 – 336i – 576
z = – 527 – 336i

Logo, z = (1 – 2i)⁸ = – 527 – 336i.

Para somar os números naturais de 1 a 99, podemos considerar que essa é uma progressão aritmética de razão 1. Assim sendo, podemos utilizar a fórmula da soma de termos de uma PA:

S_n = (a₁ + a_n) ? n
     2

S₉₉ = (1 + 99) ? 99
       2

S₉₉ = 100 ? 99
        2

S₉₉ = 9900
         2

S₉₉ = 4950

Vamos agora somar todas as potências de i. Para isso, analisaremos individualmente algumas dessas potências:

i¹ = i
i² = – 1
i³ = – i
i⁴ = 1
i⁵ = i
i⁶ = –1
i⁷ = – i
i⁸ = 1

Observe que i¹ + i³ = i – i = 0, assim como i² + i⁴ = – 1 + 1 = 0. Podemos então afirmar que a soma de quatro potências de i consecutivas resulta em zero. Vemos isso em i + i² + i³ + i⁴ = 0 e também em i⁵ + i⁶ + i⁷ + i⁸ = 0. Vejamos quais são os últimos termos nessas somas (i⁴ e i⁸) que possuem expoentes múltiplos de 4. A partir disso, vamos ver qual é a última potência a ser cancelada, dividindo o valor do último expoente por 4:

Como a divisão não foi exata, obtivemos resto 3, podemos afirmar que as três últimas potências de i não serão anuladas pelo processo que vimos anteriormente. Vamos então analisá-las dividindo seus expoentes por 4:

Portanto, a soma S ficará:

S = 1 + 2 + ... + 98 + 99 + i + i² + i³ + … + i⁹⁹
S = 4950 + i⁹⁷ + i⁹⁸ + i⁹⁹
S = 4950 + i + (– 1) + (– i)
S = 4950 – 1
S = 4949

Sendo assim, a alternativa correta é a letra e.

Para analisar o valor dessas potências de i, vamos dividir os expoentes por 4:

Portanto, a soma i¹³ + i¹⁵ corresponde a:

i¹³ + i¹⁵ = i – i = 0

Logo, a alternativa que apresenta a resposta correta é a letra a.