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Exercícios sobre Notação Especial da Progressão Aritmética

Ao resolvermos exercícios sobre notação especial da progressão aritmética, devemos atentar para o fato de os termos da PA serem desconhecidos.

Questão 1

(UERN) A sequência de números positivos (x, x + 10, x², …) é uma PA, cujo 10° termo é:

a) 94

b) 95

c) 101

d) 104

e) 105

Questão 2

(UDESC) O perímetro de um terreno triangular cujas medidas dos lados representam a progressão aritmética de termos x + 1, 2x e x2 – 5, nessa ordem, é:

a) 26

b) 25

c) 24

d) 28

e) 20

Questão 3

Em uma PA de três elementos, a soma de todos os termos resulta em 54, enquanto o produto do primeiro pelo segundo termo é 180. Determine os três termos que compõem essa PA.

Questão 4

Em uma PA de cinco termos, a soma dos dois primeiros termos é sete e a soma dos dois últimos é 25. Determine o primeiro e o último termo da PA.

Respostas

Resposta Questão 1

Primeiramente, se estamos lidando com uma progressão aritmética, sabemos que a diferença de um termo com o elemento imediatamente anterior resulta na razão dessa progressão. Logo:

r = a2 – a1
r = (x + 10) – x
r = 10

Do mesmo modo, a subtração a3 – a2 deve ser igual à razão 10:

a3 – a2 = r
x2 – (x + 10) = 10
x2 – x – 20 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para identificarmos os possíveis valores de x:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 1)2 – 4.1.(– 20)
Δ= 1 + 80
Δ= 81

x = – b ± √Δ
       2.a
x = – (– 1) ± √81
         2.1
x = 1 ± 9
      2

x1 = 1 + 9                       x2 = 1 – 9
        2                                    2
  x1 = 5                             x2 = – 4   


O valor de x2 = – 4 não é interessante nesse problema, pois os elementos dessa sequência são positivos. Portanto, utilizaremos apenas x1 = 5. Sendo assim, podemos reescrever os elementos da sequência da seguinte forma:

a1 = x → a1 = 5
a2 = x + 10 = 5 + 10 → a2 = 15
a3 = x2 = 52 → a3 = 25

Queremos identificar o 10° termo da sequência, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral, considerando n = 10:

an = a1 + (n – 1) . r
a10 = 5 + (10 – 1) . 10
a10 = 5 + 9 . 10
a10 = 95

O 10° termo dessa sequência é o número 95 e a alternativa correta é a letra b

Resposta Questão 2

Se os termos estão na ordem, podemos dizer que nessa PA:

a1 = x + 1
a2 = 2x
a3 = x2 – 5

Mas como é uma progressão aritmética, a subtração entre quaisquer dois termos subsequentes sempre resultará em um mesmo valor, a razão. Sendo assim, podemos afirmar que essas subtrações são iguais:

a3 – a2 = a2 – a1
x2 – 5 – (2x) = 2x – (x + 1)
x2 – 2x – 5 = x – 1
x2 – 3x – 4 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação do 2° grau:

Δ = b2 – 4.a.c
Δ = (– 3)2 – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
x = – b ± √Δ
        2.a
x = – (– 3) ± √25
      2.1
x = 3 ± 5
     2

x1 = 3 + 5                           x2 = 3 – 5
       2                                         2
x1 = 4                                x2 = – 1

O valor de x2 = – 1 não obedece às condições iniciais do exercício, pois, aplicando-o, teríamos lados negativos e nulos no terreno em questão. Portanto, utilizaremos x1 = 4. Vamos substituir esse valor na PA para encontrarmos o perímetro do terreno.

a1 = x + 1 = 4 + 1 → a1 = 5
a2 = 2x = 2 . 4 → a2 = 8
a3 = x2 – 5 = 42 – 5 → a3 = 11

Para encontrar o perímetro, devemos somar os três valores, 5 + 8 + 11 = 24. Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Resposta Questão 3

Como nós não conhecemos os termos, podemos escrevê-los de acordo com a notação especial da progressão aritmética, isto é, se considerarmos que algum dos termos desconhecidos é x, podemos dizer que o termo anterior é a sua diferença com a razão, ou seja, x – r, assim como o termo posterior a x é o resultado da soma de x com a razão, x + r. Portanto, a PA pode ser escrita como (x – r, x, x + r).

De acordo com o enunciado do problema, podemos afirmar que a soma dos três termos dessa PA é 54:

(x – r) + x + (x + r) = 54
3x = 54
x = 54
     3
x = 18

Já identificamos o segundo termo da PA, precisamos agora descobrir a razão dessa progressão. Para isso utilizaremos a segunda ideia do enunciado que nos diz que o produto do primeiro pelo segundo termo é 180, portanto:

(x – r) . x = 180
(18 – r) . 18 = 180
324 – 18r = 180
18r = 180 – 324
(– 1). – 18r = – 144 .(– 1)
r = 144
     18
r = 8

Se a razão é oito, podemos concluir que os termos dessa progressão aritmética são 10, 18 e 26.

Resposta Questão 4

Nós não conhecemos os termos dessa PA, então podemos escrevê-la segundo a notação especial da progressão aritmética da seguinte forma: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r). Se a soma dos dois primeiros termos é sete, temos então:

(x – 2r) + (x – r) = 7
2x – 3r = 7

Se a soma dos dois últimos termos é 25, temos:

(x + 2r) + (x + r) = 25
2x + 3r = 25

Podemos montar um sistema utilizando as duas equações. Para resolvê-lo, utilizaremos o método da adição, isto é, somaremos os elementos que estão do lado direito de ambas as equações e somaremos também os elementos que estão do lado esquerdo, montando assim uma única equação com apenas uma incógnita:

2x – 3r = 7
2x + 3r = 25
2x + 2x – 3r + 3r = 7 + 25
4x = 32
x = 32
     4
x = 8

Vamos substituir o valor encontrado na segunda equação:

2x + 3r = 25
2.8 + 3r = 25
3r = 25 – 16
r = 9
     3
r = 3

Se o primeiro termo da sequência foi dado pela expressão x – 2r, substituindo os valores de x e de r, teremos:

a1 = x – 2r
a1 = 8 – 2.3
a1 = 8 – 6
a1 = 2

Analogamente, podemos identificar o último termo da PA:

a5 = x + 2r
a5 = 8 + 2.3
a5 = 8 + 6
a5 = 14

Portanto, o primeiro termo da progressão aritmética é o 2 e o último termo é o 14.

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