Exercícios sobre Notação Especial da Progressão Aritmética

Primeiramente, se estamos lidando com uma progressão aritmética, sabemos que a diferença de um termo com o elemento imediatamente anterior resulta na razão dessa progressão. Logo:

r = a₂ – a₁
r = (x + 10) – x
r = 10

Do mesmo modo, a subtração a₃ – a₂ deve ser igual à razão 10:

a₃ – a₂ = r
x² – (x + 10) = 10
x² – x – 20 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para identificarmos os possíveis valores de x:

Δ = b² – 4.a.c
Δ= (– 1)² – 4.1.(– 20)
Δ= 1 + 80
Δ= 81

x = – b ± √Δ
       2.a
x = – (– 1) ± √81
         2.1
x = 1 ± 9
      2

x₁ = 1 + 9                       x₂ = 1 – 9
        2                                    2
  x₁ = 5                             x₂ = – 4   

O valor de x₂ = – 4 não é interessante nesse problema, pois os elementos dessa sequência são positivos. Portanto, utilizaremos apenas x₁ = 5. Sendo assim, podemos reescrever os elementos da sequência da seguinte forma:

a₁ = x → a₁ = 5
a₂ = x + 10 = 5 + 10 → a₂ = 15
a₃ = x² = 5² → a₃ = 25

Queremos identificar o 10° termo da sequência, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral, considerando n = 10:

a_n = a₁ + (n – 1) . r
a₁₀ = 5 + (10 – 1) . 10
a₁₀ = 5 + 9 . 10
a₁₀ = 95

O 10° termo dessa sequência é o número 95 e a alternativa correta é a letra b. 

Se os termos estão na ordem, podemos dizer que nessa PA:

a₁ = x + 1
a₂ = 2x
a₃ = x² – 5

Mas como é uma progressão aritmética, a subtração entre quaisquer dois termos subsequentes sempre resultará em um mesmo valor, a razão. Sendo assim, podemos afirmar que essas subtrações são iguais:

a₃ – a₂ = a₂ – a₁
x² – 5 – (2x) = 2x – (x + 1)
x² – 2x – 5 = x – 1
x² – 3x – 4 = 0

Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver essa equação do 2° grau:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = (– 3)² – 4.1.(– 4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
x = – b ± √Δ
        2.a
x = – (– 3) ± √25
      2.1
x = 3 ± 5
     2

x₁ = 3 + 5                           x₂ = 3 – 5
       2                                         2
x₁ = 4                                x₂ = – 1

O valor de x₂ = – 1 não obedece às condições iniciais do exercício, pois, aplicando-o, teríamos lados negativos e nulos no terreno em questão. Portanto, utilizaremos x₁ = 4. Vamos substituir esse valor na PA para encontrarmos o perímetro do terreno.

a₁ = x + 1 = 4 + 1 → a₁ = 5
a₂ = 2x = 2 . 4 → a₂ = 8
a₃ = x² – 5 = 4² – 5 → a₃ = 11

Para encontrar o perímetro, devemos somar os três valores, 5 + 8 + 11 = 24. Portanto, a alternativa correta é a letra c.

Como nós não conhecemos os termos, podemos escrevê-los de acordo com a notação especial da progressão aritmética, isto é, se considerarmos que algum dos termos desconhecidos é x, podemos dizer que o termo anterior é a sua diferença com a razão, ou seja, x – r, assim como o termo posterior a x é o resultado da soma de x com a razão, x + r. Portanto, a PA pode ser escrita como (x – r, x, x + r).

De acordo com o enunciado do problema, podemos afirmar que a soma dos três termos dessa PA é 54:

(x – r) + x + (x + r) = 54
3x = 54
x = 54
     3
x = 18

Já identificamos o segundo termo da PA, precisamos agora descobrir a razão dessa progressão. Para isso utilizaremos a segunda ideia do enunciado que nos diz que o produto do primeiro pelo segundo termo é 180, portanto:

(x – r) . x = 180
(18 – r) . 18 = 180
324 – 18r = 180
– 18r = 180 – 324
(– 1). – 18r = – 144 .(– 1)
r = 144
     18
r = 8

Se a razão é oito, podemos concluir que os termos dessa progressão aritmética são 10, 18 e 26.

Nós não conhecemos os termos dessa PA, então podemos escrevê-la segundo a notação especial da progressão aritmética da seguinte forma: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r). Se a soma dos dois primeiros termos é sete, temos então:

(x – 2r) + (x – r) = 7
2x – 3r = 7

Se a soma dos dois últimos termos é 25, temos:

(x + 2r) + (x + r) = 25
2x + 3r = 25

Podemos montar um sistema utilizando as duas equações. Para resolvê-lo, utilizaremos o método da adição, isto é, somaremos os elementos que estão do lado direito de ambas as equações e somaremos também os elementos que estão do lado esquerdo, montando assim uma única equação com apenas uma incógnita:

2x – 3r = 7
2x + 3r = 25
2x + 2x – 3r + 3r = 7 + 25
4x = 32
x = 32
     4
x = 8

Vamos substituir o valor encontrado na segunda equação:

2x + 3r = 25
2.8 + 3r = 25
3r = 25 – 16
r = 9
     3
r = 3

Se o primeiro termo da sequência foi dado pela expressão x – 2r, substituindo os valores de x e de r, teremos:

a₁ = x – 2r
a₁ = 8 – 2.3
a₁ = 8 – 6
a₁ = 2

Analogamente, podemos identificar o último termo da PA:

a₅ = x + 2r
a₅ = 8 + 2.3
a₅ = 8 + 6
a₅ = 14

Portanto, o primeiro termo da progressão aritmética é o 2 e o último termo é o 14.