Questão 1
Seja A = (aij)3x3, com aij = i + j, e B = (bij)3x3, com bij = j – i, determine a matriz C, tal que C = A.B.
Questão 2
Considerando as matrizes e , verifique se é válida a propriedade comutativa na multiplicação de matrizes.
Questão 3
(UFU) Considere a matriz . Então A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é igual a:
a) A6
b) A8
c) A10
d) A5
Questão 4
(PUC – RS) O elemento c22 da matriz C = AB, onde A = e B = :
a) 0
b) 2
c) 6
d) 11
e) 22
Resposta Questão 1
Primeiramente, vamos determinar os elementos das matrizes A e B:
Agora que já conhecemos A e B, podemos realizar o produto entre essas matrizes para determinar a matriz C:
Portanto, multiplicando as matrizes A e B, obtemos a matriz .
Resposta Questão 2
Se queremos verificar a validade da propriedade comutativa na multiplicação das matrizes A e B, isso implica mostrar se é verdadeira a igualdade A.B = B.A. Vamos fazer primeiro o produto A.B:
Vamos agora fazer o produto B.A:
Após fazer as multiplicações das matrizes A e B, podemos constar que A.B ≠ B.A, portanto, a propriedade comutativa não se aplica à multiplicação de matrizes.
Resposta Questão 3
Para resolver essa questão, realizaremos primeiramente as multiplicações que caracterizam as potências de matriz, sendo , temos:
A² = A . A =
A³ = A² . A =
A4 = A3 . A =
Vamos agora aplicar a multiplicação de matriz por um número e a soma de matrizes para solucionar a expressão A4 + 2A3 + 4A2 + 8A:
A4 + 2A3 + 4A2 + 8A
Observe novamente os resultados das potências da matriz A. Podemos sintetizar que:
A2 = 2. A = 2¹.A
A3 = 2.2.A = 2².A = 4.A
A4 = 2.2.2.A = 23.A = 8.A
An = 2n – 1.A
Mas o resultado da expressão corresponde à 32.A. Se 32 = 25, podemos então afirmar que o resultado da expressão A4 + 2A3 + 4A2 + 8A é A6, pois A6 = 25.A. Logo, a alternativa correta é a letra a.
Resposta Questão 4
Para determinar um elemento de C, não é necessário realizar toda a multiplicação entre as matrizes A e B. O elemento C22, por exemplo, é formado pela soma dos produtos dos elementos da 2ª linha da matriz A com os elementos da 2ª coluna da matriz B, isto é:
C22 = A21 . B12 + A22 . B22 + A23 . B32 + A24 . B42
C22 = 5 . 1 + 6 . 1 + 7 . 0 + 8 . 0
C22 = 5 + 6
C22 = 11
Portanto, a alternativa correta é a letra d.