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Exercícios sobre matriz inversa

Esta lista é para testar seus conhecimentos sobre matriz inversa com exercícios que pedem para encontrá-la, verificar se ela é inversível e muito mais!

Questão 1

Analise a matriz a seguir:

Podemos afirmar que a inversa da matriz A é:

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Questão 2

Sabendo que as matrizes A e B são inversas, x e y são, respectivamente:

A) x = 4 e y = 2

B) x = -3 e y = -1

C) x = 5/2 e y = -2/3

D) x = -1/2 e y = 5/4

E) x = -1 e y = 1/2

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Questão 3

Dada uma matriz A, sabemos que ela pode ter uma matriz inversa ou não. Para isso, calculamos o determinante da matriz. Sobre a matriz A, a seguir, podemos afirmar que:

A) A matriz admite inversa, já que o seu determinante é igual a 0.

B) A matriz admite inversa, já que o seu determinante é diferente de 0.

C) A matriz não admite inversa, já que o seu determinante é igual a 0.

D) A matriz não admite inversa, já que o seu determinante é diferente de 0.

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Questão 4

Dada a matriz M e a matriz M-1, podemos afirmar que o valor de x + y é:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

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Questão 5

A matriz B é uma matriz quadrada e não inversível. Sendo assim, o valor de x é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) -2

E) -1

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Questão 6

Sobre a matriz inversa, julgue as afirmativas a seguir:

I – A matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero.

II – A matriz inversa da matriz identidade é ela mesma.

III – Uma matriz 3x2 pode admitir inversa.

Marque a alternativa que contém o julgamento correto respectivamente:

A) F, F, F
B) V, V, V
C) F, V, V
D) V, V, F
E) V, F, F

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Questão 7

(Unicamp) Considere a matriz quadrada A de ordem 3, onde x é um número real:

Podemos afirmar que:

A) A não é inversível para nenhum valor de x.

B) A é inversível para um único valor de x.

C) A é inversível para exatamente todos os valores de x.

D) A é inversível para todos os valores de x.

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Questão 8

(Cefet MG) A matriz A é inversa de B. Pode-se afirmar que a diferença x – y é igual a:

A) -8

B) -2

C) 2

D) 6

E) 8

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Questão 9

(UFU MG - adaptada) Considere o conjunto das matrizes da forma:

O valor de k para que a matriz exista exatamente como uma matriz inversível nesse conjunto é:

A) -21/4

B) 12/5

C) -7/2

D) 3/5

E) 4/9

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Questão 10

Seja B a matriz inversa de A, sabendo que a matriz A é de ordem dois em que os termos são aij = i + j, o termo que ocupa a posição b22 da matriz B é:

A) 0

B) 1

C) 2

D) -1

E) -2

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Questão 11

Sobre a matriz inversa, julgue as afirmativas a seguir:

I – Toda matriz quadrada admite matriz inversa.

II – A matriz nula não admite matriz inversa.

III – A inversa da matriz A-1 é a matriz A.

Agora marque a alternativa que corresponde ao julgamento correto:

A) F, F, V

B) V, V, F

C) F, V, V

D) V, F, F

E) V, F, V

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Questão 12

Quais são os valores de x que fazem com que a matriz não seja inversível?

A) x = 0 ou x = 5

B) x = 4 ou x = 5

C) x = 2 ou x = 1

D) x = -3 ou x = 4

E) x = 3 ou x = -4

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa B

Dada a matriz A, para encontrar a inversa da matriz, vamos resolver a equação:

A · A-1 = I

Montando o primeiro sistema e analisando a primeira coluna, temos que:

Isolando a11 na equação II, temos que:

a11 = -3a21

Substituindo em I:

a11 + 2a21 = 1

– 3a21 + 2a21 = 1

– a21  = 1 (-1)

a21 = -1

Tendo o valor de a21, é possível encontrar o valor de a11:

a11 = -3a21

a11 = -3 (-1)

a11 = 3

Agora vamos analisar a segunda coluna para montar o segundo sistema:

Isolando a12 em III, temos:

a12 = -2a22

Substituindo em IV:

a12 + 3a22 =1

– 2a22 + 3a22 = 1

a22 = 1

Conhecendo o valor de a22, encontraremos o valor de a12:

a12 = -2 a22

a12 = -2 · 1

a12 = -2

Representando a matriz inversa, temos:

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Resposta Questão 2

Alternativa D

Como B é a inversa de A, então, montando a equação, temos que:

Agora podemos escolher uma equação com x, para encontrar o valor de x, e uma equação com y, para encontrar o valor de y.

Escolhendo o termo que está na segunda linha, primeira coluna, temos que:

Para encontrar o valor de y, utilizaremos o termo da segunda coluna, primeira linha:

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Resposta Questão 3

Alternativa B

Para verificar se a matriz admite inversa, basta calcular o determinante da matriz, caso ele seja 0, a matriz não é inversível:

Det(A) = 2 · 2 · 1 + 0 · 1 · 3 + 1 · 1 · 2 – (1 · 2 · 3 + 2 · 1 · 2 + 0 · 1 ·1)

Det(A) = 4 + 0 + 2 – (6 + 4)

Det(A) = 6 – 10

Det(A) = -4

Como o determinante da matriz é diferente de 0, a matriz é inversível.

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Resposta Questão 4

Alternativa D

Montando a equação matricial, sabendo que M · M-1 = In:

Pela terceira coluna, temos que:

x + 1 = 0

x = -1

Conhecendo o valor de x, basta escolher qualquer uma das outras equações da terceira coluna para encontrar o valor de y.

3x + 1 + y = 0

3 (-1) + 1 + y = 0

– 3 + 1 + y = 0

– 2 + y =0

y = 2

Então:

x + y = – 1 + 2 = 1

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Resposta Questão 5

Alternativa C

Para que a matriz não seja inversível, seu determinante tem que de ser igual a zero:

det(B) = 3x – 6 · 1

det(B) = 3x – 6 

3x – 6 = 0

3x = 6

x = 6/3

x = 2

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Resposta Questão 6

Alternativa D

I → Verdadeira, pois, se det(A) for diferente de zero, a matriz admite inversa.

II → Verdadeira, pois In · In = In.

III → Falsa, para que uma matriz admita inversa, ela precisa ser uma matriz quadrada, ou seja, ter o mesmo número de linhas e colunas.

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Resposta Questão 7

Alternativa B

Calculando o determinante da matriz, temos que:

det(A) = cosx · 1 · cosx + 0 · 0 · senx + (-senx) · 0 · 0 – [ – senx · 1 · senx + cosx · 0 · 0 + 0 · 0 · cosx] 

det(A) = cos²x + 0 + 0 – [– sen²x + 0 + 0]

det(A) = cos²x – [-sen²x]

det(A) = cos²x + sen²x

Pelo teorema fundamental da trigonometria, cos²x + sen²x = 1 para todo valor de x, ou seja:

det(A) = 1

Como ele é diferente de 0, então a matriz é inversível para qualquer valor de x.

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Resposta Questão 8

Alternativa E

Montando a equação e igualando os termos da matriz, temos que:

Então:

 x – y = 3 – (-5) = 3 + 5 = 8

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Resposta Questão 9

Alternativa A

Calculando o determinante da matriz, temos que:

det(M) = (x – 3) (x – 5) – (x + k)

det(M) = x² – 5x – 3x + 15 – x – k

det(M) = x² – 9x + 15 – k

Como a matriz não é inversível, então det(M) = 0.

x² – 9x + 15 – k = 0

Encontramos uma equação do 2º grau. Como queremos que exista exatamente uma matriz inversível no conjunto, Δ = 0, pois, quando Δ = 0, existe um único valor que faz com que a equação seja igual a 0.

a = 1

b = -9

c = 15 – k

Δ = b² – 4ac

Δ = (-9)² – 4 · 1 · (15 – k)

Δ = 81 – 60 + 4k

Δ = 21 + 4k

21 + 4k = 0

4k = -21

k = -21/4

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Resposta Questão 10

Alternativa E

Primeiro construiremos a matriz A:

a11 = 1 + 1 = 2

a12 = 1 + 2 = 3

a21 = 2 + 1 = 3

a22 = 2 + 2 = 4

Então a matriz A será:

Encontrando a inversa de A, temos que:

Como o nosso interesse é só no termo b22, vamos analisar as duas equações da segunda coluna, então montaremos o sistema e o resolveremos pelo método da substituição:

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Resposta Questão 11

Alternativa C

I → Falsa, pois se o determinante for zero, a matriz quadrada não admite inversa.

II → Verdadeira, pois o determinante da matriz nula é 0, logo, ela não admite inversa.

III → Verdadeira, pois A-1 · A = In.

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Resposta Questão 12

Alternativa E

Como a matriz é triangular superior, seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Para que ela não seja inversível, seu determinante deve ser igual a zero.

det(A) = 2 · (x + 4) · (x – 3) · 5

Para que essa multiplicação seja igual a 0, uma das parcelas deve ser zero, ou seja:

x + 4 = 0 → x = -4 ou

x – 3 = 0 → x = 3

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