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Exercícios sobre funções trigonométricas

Esta lista de exercícios testará seus conhecimentos sobre as funções trigonométricas, como a função seno, a função cosseno e a função tangente.

Questão 1

Uma função trigonométrica possui lei de formação igual a f(x) = 2cos(x) – 1. O valor numérico dessa função quando x = π/3 é:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

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Questão 2

Dada a função f(x) = 3sen(4x) + 6, com domínio e contradomínio nos números reais, podemos afirmar que o conjunto imagem dessa função é:

A) [-4, 4]

B) [-4, 6]

C) [6, 3]

D) [3, 9]

E) ]-∞, ∞[

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Questão 3

Uma função de A → B possui lei de formação igual a:
 

Lei de formação de função trigonométrica


Podemos afirmar que o menor valor que essa função pode ter assim é:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

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Questão 4

Seja f(x) = 1 + 2sen(x), qual deve ser o valor de x, sabendo que ele é um ângulo do 1º quadrante, que faz com que f(x) = 2:

A) π

B) π/2

C) π/3

D) π/4

E) π/6

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Questão 5

Analise as afirmativas a seguir sobre as funções trigonométricas:

I → A função tangente possui imagem no conjunto [-1, 1].

II → A função cosseno e a função seno são periódicas.

III → O conjunto imagem da função trigonométrica y = sen(x) + cos(x) é [-1, 1].

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Todas as afirmativas são verdadeiras.

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Questão 6

(Enem) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de certo produto sazonal pode ser descrito pela função
 

 Função trigonométrica que descreve preço de produto


onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é

A) janeiro.

B) abril.

C) junho.

D) julho.

E) outubro.

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Questão 7

(Enem 2017) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica a figura.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = k · sen(x), sendo k uma constante, e supondo-se que X está entre 0° e 90º.
 

 Ilustração de raios de luz atingindo superfície e formando ângulo x


Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz à qual percentual de seu valor máximo?

A) 33%

B) 50%

C) 57%

D) 70%

E) 86%

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Questão 8

(Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de suas cadeiras:
 

Representação de roda-gigante High Roller


A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam o ângulo determinado pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:
 

Gráfico de função trigonométrica


A expressão da função altura é dada por:

A) f(t) = 80sen(t) + 88

B) f(t) = 80cos(t) + 88

C) f(t) = 88cos(t) + 168

D) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t)

E) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t)

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Questão 9

(Furb) Considere o gráfico a seguir:

Gráfico de função trigonométrica

Pode-se afirmar que a função que está representada nesse gráfico é:

A) y = 3cos(2x) – 1

B) y = cos(2x) + 2

C) y = 2cos(2x) – 4

D) y = 3cos(x/2) – 1

E) y = 2cos(x/2) – 4

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Questão 10

Conhecendo a função trigonométrica y = 2cos²(x) – √2sen(x), o valor da função quando x = π/4 é:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

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Questão 11

 Durante a análise de uma função, Kárita encontrou uma função trigonométrica, e ficou em dúvida entre as funções f(x) = sen(x); f(x) = cos(x); e f(x) = tg(x).

I → A função possui imagem [-1, 1].

II → A função é trigonométrica e possui período igual a 2π.

III → O valor numérico da função f(π/2) = 1.

A função descrita por ela é:

A) uma função seno

B) uma função cosseno

C) uma função tangente

D) uma função cotangente

E) uma função exponencial 

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Questão 12

Das alternativas a seguir, marque aquela que possui a lei de formação de uma função trigonométrica:

A) f(x) = logx

B) f(x) = ex

C) f(x) = 2cos(x) – 4

D) f(x) = 4x + senπ

E) f(x) = 2x + 3

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa C

Queremos o valor de f(x) para x = π/3, então, temos que:
 

Cálculo do valor de função trigonométrica com lei de formação igual a f(x) = 2cos(x) – 1

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Resposta Questão 2

Alternativa D

Sabemos que sen(x) está sempre entre -1 e 1, então, para calcular o mínimo da função, temos que sen(x) = -1.

f(x) = 3 · (-1) + 6

f(x) = -3 + 6

f(x) = 3

Agora, o máximo da função é quando sen(x) = 1:

f(x) = 3 · 1 + 6

f(x) = 3 + 6

f(x) = 9

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Resposta Questão 3

Alternativa D

Analisando o denominador, sabemos que ele sempre será positivo, já que cos(x) será sempre menor que 1.

Então, para encontrar o menor valor possível da função, vamos dividir 2 pelo maior número possível.

Nesse caso, admitindo cos(x) = -1, temos que:
 

Cálculo de menor valor de função trigonométrica


Assim, o menor valor possível para essa função é 1.

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Resposta Questão 4

Alternativa E

Dada a função f(x) 1 + 2sen(x), sabemos que:

1 + 2sen(x) = 2

2sen(x) = 2 – 1

2sen(x) = 1

sen(x) = 1/2

Queremos encontrar o ângulo do 1º quadrante cujo o valor de seu seno é ½. Nesse caso, trata-se de um ângulo notável que é o ângulo de 30º, que, em radianos, corresponde ao arco π/6.

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Resposta Questão 5

 Alternativa B

  1. Falsa. Diferentemente das funções seno e cosseno, a imagem da função tangente não é limitada entre -1 e 1, podendo ser qualquer número real.

  2. Verdadeira. Sabemos que a função cosseno é periódica, pois ela possui período igual a 2π.

  3. Falsa. O maior valor da imagem da função é quando sen(x) = 1, ou seja, y = 1 + 3 = 4. O menor valor da imagem da função é quando sen(x) = -1, ou seja, y = -1 + 3 = 2. Assim, a imagem da função seria o conjunto [2, 4]. 

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Resposta Questão 6

Alternativa D

A safra tem seu valor máximo quando o preço é o mínimo possível, e, para isso, o menor valor que o cosseno pode assumir é -1. Ainda, o ângulo que faz com que cos(a) = -1 é a = π, então, temos que:
 

Cálculo do mês em que produção é máxima

Sabemos que o mês 7 é o mês de julho.

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Resposta Questão 7

Alternativa B

No intervalo de 0º a 90º, a função seno tem seu maior valor quando x = 90º, então, temos que:

i = k · sen(90º)

i = k · 1

i = k

Agora, quando x = 30º, temos que:

i = k · sen(30º)

i = k · 1/2

i = k/2

Como, com 30º, a intensidade é a metade de k, então ela se reduziu a 50% do seu valor máximo.

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Resposta Questão 8

Alternativa A

Sabemos que f(π/2) = 168, que é o máximo da função. A função trigonométrica que tem esse comportamento com máximo em π/2 é a função seno, logo, a função possui lei de formação igual a:

f(t) = X + Y sen(t)

Quando t = 0 e f(t) = 88:

f(0) = X + Ysen(0)

88 = X + Y · 0

88 = X

Conhecendo o valor de X, note que f(π/2) = 168:

f(π/2) = 88 + Ysen(π/2)

168 = 88 + Y · 1

168 – 88 = Y

80 = Y

Então, a lei de formação da função altura é f(t) = 80 + 88sen(t).

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Resposta Questão 9

Alternativa A

Analisando a função, sabemos que:

y = Acos(kx) + B

Sabemos que o ponto (0, 2) pertence ao gráfico, então, temos que:

2 = Acos(k0) + B

2 = Acos(0) + B

2 = A + B

Sabemos que o menor valor que cos(kx) pode assumir é -1, e, quando cos(kx) = -1, temos que f(x) = -4.

-4 = A (-1) + B

-4 = -A + B

Então, temos duas equações:

A + B = 2
-A + B = -4

Realizando a soma dessas equações, temos que:

0A + 2B = -2

2B = -2

B = -2 : 2

B = -1

Como A + B = 2 e B = -1, então, temos que:

A + (-1) = 2

A – 1 = 2

A = 2 + 1

A = 3

Então, a lei de formação é:

y = 3cos(kx) – 1

Por fim, para encontrar o valor de k, temos que x = π, então, y = 2, logo, temos que:

2 = 3cos(kπ) – 1

2 + 1 = 3cos(kπ)

3 = 3cos(kπ)

3 : 3 = cos(kπ)

1 = cos(kπ)

Sabemos que cos(2π) = 1, então, temos que:

kπ = 2π

k = 2

Assim, a lei de formação da função é:

y = 3cos(2x) – 1

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Resposta Questão 10

Alternativa C

Substituindo x por π/4, temos que:

 Cálculo de valor de função trigonométrica

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Resposta Questão 11

Alternativa A

Analisando as informações dadas, sabemos que as funções trigonométricas que satisfazem a afirmativa I e II são a seno e a cosseno, pois ambas são periódicas e também possuem imagem entre [-1, 1].

Para diferenciar entre as duas funções, utilizamos a afirmativa III. A função trigonométrica que possui valor f(π/2) = 1 é a função f(x) = sen(x).

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Resposta Questão 12

Alternativa C

A alternativa que contém uma função trigonométrica é a C, pois note que somente nela há uma razão trigonométrica cujo o ângulo é a variável x.

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