Questão 1
Dada a função modular f(x) = |2 – x| – 2, escreva a função sem utilizar módulo nas sentenças.
Questão 3
(Fuvest) Seja f(x) = |2x² – 1|, x 
. Determine os valores de x para os quais f(x) < 1.
Questão 4
(Puc – MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por:
a) duas semirretas de mesma origem
b) duas retas concorrentes
c) duas retas paralelas
d) uma única reta que passa pelo ponto (0,2)
Resposta Questão 1
Pela definição de função modular, temos que f(x) = |x| equivale a 
. A função dada no enunciado apresenta o módulo |2 – x|, com o qual faremos:
2 – x = 0
– x = – 2
x = 2
Agora vamos analisar a função:
|
x ≥ 2 f(x) = |2 – x| – 2
|
x < 2 2 – x < 0 f(x) = |2 – x| – 2 |
Podemos representar essa função sem o utilizar o módulo da seguinte forma:
.jpg){kind=small}
Resposta Questão 2
Vamos determinar alguns pontos principais do gráfico da função f(x) = |4x² + 8x – 5| e verificar quais são os valores de x para os quais temos f(x) = 0. Nesse momento, podemos desconsiderar o módulo para resolver a equação 4x² + 8x – 5 = 0. Através da fórmula de Bhaskara, temos:
.jpg)
Δ = b² – 4.a.c
Δ = 8² – 4.4.(– 5)
Δ = 64 + 80
Δ = 144
x = – b ± √Δ
2.a
x = – 8 ± √144
2.4
x = – 8 ± 12
8
|
x1 = – 8 + 12 x1 = 4 x1 = 1 |
x2 = – 8 – 12 x2 = – 20 x2 = – 5 |
Temos então que a função toca o eixo x nos pontos (1/2, 0) e (– 5/2, 0). Podemos determinar o vértice da parábola através do cálculo de máximo e mínimo:
Xv = – b
2a
Xv = – 8
2.4
Xv = – 1
Yv = – Δ
4a
Yv = – 144
4.4
Yv = – 9
O vértice da parábola da função f(x) = 4x² + 8x – 5 é nos pontos (– 1, – 9). Mas como essa função é modular, ela não pode ter pontos com valores de y negativos. Dessa forma, essa parte da função será “refletida” de modo que o vértice da parábola da função f(x) = |4x² + 8x – 5| seja no ponto (– 1, 9). Observe na figura a seguir o gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5| em vermelho. A parte do gráfico compreendida entre – 5/2 < x < 1/2 foi refletida para cima do eixo x. Se a função não fosse modular, utilizaríamos a curva da cor cinza.
Gráfico da função modular f(x) = |4x² + 8x – 5|
Resposta Questão 3
Para determinar os valores de x para os quais temos f(x) < 1, resolveremos a seguinte inequação modular:
|2x² – 1| < 1
– 1 < 2x² – 1 < 1
– 1 + 1 < 2x² < 1 + 1
0 < x² < 2
2 2
√0 < x < √1
0 < x < ±1
Portanto, temos dois intervalos possíveis que correspondem aos valores de x tais que f(x) < 1, são eles – 1 < x < 0 e 0 < x < 1. Outra forma de mostrar essa solução é através da reta numérica:
Representação dos valores de x para os quais temos f(x) < 1
Resposta Questão 4
Para responder à questão, vamos verificar como é o gráfico da função modular f(x) = |x| + 2:
Gráfico da função modular f(x) = |x| + 2
Na figura acima, podemos observar duas funções. Na cor cinza, temos o gráfico da função modular f(x) = |x|, mas como estamos trabalhando com a função f(x) = |x| + 2, basta “elevá-la” duas unidades para conseguir o gráfico procurado, que está na cor vermelha. Observe que esse gráfico é constituído por duas semirretas com origem no ponto (0,2). Portanto, a alternativa correta é a letra a.
