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Exercícios sobre equação polinomial

Esta lista de exercícios testará seus conhecimentos sobre a equação polinomial, uma igualdade que envolve um polinômio em uma ou mais variáveis.

Questão 1

Considere a equação \(x^2+3x-4=0\). Qual das opções a seguir representa suas raízes?
A) -4 e 1

B) 2 e -2

C) -3 e 1

D) 3 e -1

E) 1 e -4

Questão 2

Considere a equação \(x^4-16x^2+64=0\). Marque a alternativa correta em relação a ela.

A) Possui 3 raízes reais, sendo duas distintas.

B) Possui 4 raízes reais, sendo três distintas.

C) Possui 4 raízes reais, sendo duas distintas.

D) Possui 1 raiz real.

E) Não possui raiz real.

Questão 3

Marque a alternativa que possui a forma fatorada de uma equação polinomial cujo an=1 e as raízes são 2, 3 e 7, ambas com suas multiplicidades sendo respectivamente iguais a 7, 4 e 2.

A) \( \left(x+2\right)^7\left(x+3\right)^4\left(x+7\right)^2\)

B) \( \left(x+7\right)^2\left(x+4\right)^3\left(x+2\right)^7\)

C) \( \left(x-2\right)^7\left(x-3\right)^4\left(x-7\right)^2\)

D) \( \left(x+7\right)^2\left(x-4\right)^3\left(x+2\right)^2\)

E) \( \left(x-7\right)^2\left(x+3\right)^4\left(x-2\right)^2\)

Questão 4

Determine o valor da expressão bc, derivada da equação polinomial x2-bx+c=0, sabendo que suas raízes são 3 e -4.

A) 12

B) -12

C) 7

D) -7

E) -1

Questão 5

Sabe-se que \(x^2-3x-1=0\). Marque a expressão que vale \(x^4\).

A) 6x+12

B) 9x+24

C) 33x+10

D) 37x+12

E) 42x+8

Questão 6

A equação polinomial \(x^6-x^3-12=0\) possui quantas raízes reais distintas? 

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

Questão 7

O valor de x  que satisfaz a equação \(\left(3x-2\right)\cdot2+x-3^2=-4\cdot\left(9-2\right)x-2x+(3-2^3)\cdot4\) é?

A) \(-\frac{3}{37}\)

B) \(-\frac{7}{37}\)

C) \(-\frac{4}{37}\)

D) \(-\frac{1}{37}\)

E) \(-\frac{17}{37}\) 

Questão 8

A equação polinomial \(x^3+2x^2-5x-6=0\) possui três raízes reais distintas: a, b e c. Qual das alternativas representa a soma dessas raízes?

A) a+b+c=5

B) a+b+c=2

C) a+b+c=-2

D) a+b+c=6

E) a+b+c=-6

Questão 9

Sejam \(r_1,\ r_2\ e\ r_3\) as raízes da equação polinomial \(x^3-4x^2+2x+1=0,\), em que \(r_1<r_2<r_3\). Calcule o valor de \((r_1+r_3)r_2\).

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Questão 10

Qual das alternativas abaixo possui uma das raízes da equação polinomial:

\(2\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)=x^2-9\) 

A) 2,5

B) 4,5

C) 6,5

D) 7,5

E) 9,5

Questão 11

Sejam \(r_1\ e \ r_2\) raízes positivas da equação polinomial \(x^3-4x=0, logo\ o\ valor\ {r_1}^{r_2}\) é:

(Considere que \(r_1>r_2\).)

A) 1,25

B) 0,25

C) 2,25

D) 0,50

E) 2,75

Questão 12

Qual é a soma das raízes reais da equação polinomial \(2\left(x-2\right)\cdot\left(x-5\right)^2\left(x-7\right)^3=0\) ?

A) 12

B) 14

C) 70

D) 33

E) -70

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa A.

\(∆=b^2-4ac\) 

\(∆=3^2-4(1)(-4)=25\) 

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 

\(x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2(1)}\) 

\(x=\frac{-3\pm5}{2}\) 

Logo, as raízes são - 4 e 1.

Resposta Questão 2

Alternativa C.

A equação \(x^4-16x^2+64=0\) é conhecida como biquadrada e pode ser facilmente substituída por uma mudança de variável \((y=x^2)\), ficando com a equação na variável y igual a \(y^2-16y+64=0\).

\(∆=b^2-4ac\) 

\(∆=(-16)^2-4(1)(64)=0\) 

\(y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) 

\(y=\frac{-(-16)\pm\sqrt0}{2(1)}\) 

\(y_1=\frac{16+0}{2}=8\) 

\(y_2=\frac{16-0}{2}=8\) 

Logo, as raízes na variável x são dadas pela resolução da expressão \(x^2=8\).

\({y}_\mathbf{1}=\pm\sqrt8 \ e\ {y}_\mathbf{2}=\pm\sqrt8\) 

Dessa expressão concluímos que são quatro raízes reais, porém duas delas têm multiplicidade 2.

Resposta Questão 3

Alternativa C.

A forma fatorada de uma equação polinomial é dada por \(a_n\left(x-r_i\right)^{m_i}\left(x-r_{m-i}\right)^{m_{i-1}}\ldots.\left(x-r_2\right)^2\left(x-r_1\right)\), e m é a multiplicidade da raiz r.

Substituindo as informações dadas acima, temos que:

\(1\cdot{(x-2)}^7{(x-3)}^4{(x-7)}^2\) 

Resposta Questão 4

Alternativa A.

Sabemos que a equação do tipo \(x^2-(soma)x+produto=0\) é característica de resolução por soma e produto. Pelos dados fornecidos pelo exercício, temos que:

\(x^2-bx+c=0\) 

\(x^2-(soma)x+produto=0\) 

Logo, \(a \ soma=-4+3=-1\ e\ o\ produto=-4\left(+3\right)=-12\).

Assim, podemos concluir que \(b=-1\ e\ c=-12, logo\ b⸳c=(-1)(-12)=12\).

Resposta Questão 5

Alternativa C.

Essa é uma questão de olhar para a equação polinomial separando o maior grau (2º).

\(x^2-3x-1=0\) 

\(x^2=3x+1\) 

Como queremos o valor de \(x^4\), podemos olhar da seguinte forma:

\(x^4=x^2\cdot x^2=\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)=\) 

\(= {9x}^2+6x+1=9\left(3x+1\right)+6x+1=27x+9+6x+1=33x+10\) 

Resposta Questão 6

Alternativa B.

Para resolvermos essa equação, devemos substituir \(x^3=y\), logo a nova equação será:

\(y^2-y-12=0\) 

As raízes dessa equação em y são \(y_1=-3 \ e\ y_2=4\).

Levando esses resultados para a variável x, teremos \(x=\sqrt[3]{-3} \ e\ x=\sqrt[3]{4}\). Desse modo, temos duas raízes reais distintas.

Resposta Questão 7

Alternativa B.

Essa é uma equação de primeiro grau, assim devemos apenas isolar a variável x.

\(\left(3x-2\right)\cdot2+x-3^2=-4\cdot\left(9-2\right)x-2x+(3-2^3)\cdot4\) 

\(6x-4+x-9=-36x+8x-2x+(3-8)\cdot4\) 

\(7x-13=-30x-20\) 

\(37x=13-20\) 

\(37x=-7\) 

\(x=-\frac{7}{37}\) 

Resposta Questão 8

Alternativa C.

A equação polinomial do terceiro grau é da forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\).

Dessa equação e utilizando as relações de Girard, temos que a soma dessas três raízes da equação é \(x^3+2x^2-5x-6=0, dada\ por -\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2\).

Resposta Questão 9

Alternativa B.

Como é uma equação do terceiro grau, devemos encontrar uma raiz para reduzir o grau dessa equação para o grau 2, na qual temos uma fórmula que nos auxilia.

A soma dos coeficientes da equação \(x^3-4x^2+2x+1=0\) é \(1-4+2+1=0\), logo x = 1 é raiz dessa equação. Aplicando o "Teorema de D'Alembert", temos:

\(x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)\) 

Resolvendo \( x^2-3x-1=0\), temos que \(x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\).

\(x_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}<1\) 

\(x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}>1\) 

Logo, concluímos que \(\left(r_1+r_3\right)r_2=\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}+\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\cdot1=3\).

Resposta Questão 10

Alternativa D.

Vamos fatorar a expressão \(x^2-9=(x+3)(x-3)\).

De posse dessa fatoração podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

\(2\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)=(x+3)(x-3)\) 

Se x=3 , temos uma raiz real.

Caso x≠3, poderíamos simplificar a expressão, chegando a:

\( 2\left(x-4\right)\left(x-6\right)=(x+3) \) 

\(2x^2-20x+48-x-3=0\) 

\(2x^2-21x+45=0\) 

Como \(∆=441-360=81\), temos que as raízes dessa equação são \(x_1=7,5 \ e\ x_2=3\).

Resposta Questão 11

Alternativa B.

Por observação temos que x=0 é solução da equação polinomial \(x^3-4x=0\). Para um x diferente de zero, podemos simplificar a equação, ficando \(x^2-4=0\), o que nos leva às raízes \(r_1=2 \ e\ r_2=-2\), de onde concluímos que:

\({r_1}^{r_2}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25\) 

Resposta Questão 12

Alternativa D.

Observe que a equação polinomial acima está fatorada, o que nos concede a opção de resolver cada parêntese.

\(\left(x-2\right)=0, logo \ x=2.\)

\(\left(x-5\right)=0, logo\ x=5.\)

\(\left(x-7\right)=0, logo\ x=7.\)

Como o exercício pediu a somas das raízes reais, devemos levar em consideração a sua multiplicidade, ou seja, quantas vezes essa raiz deve ser somada. Temos então que a soma das raízes dessa equação é \(2+5\cdot2+7\cdot3=33\).


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