Questão 1
Considere a equação \(x^2+3x-4=0\). Qual das opções a seguir representa suas raízes?
A) -4 e 1
B) 2 e -2
C) -3 e 1
D) 3 e -1
E) 1 e -4
Questão 2
Considere a equação \(x^4-16x^2+64=0\). Marque a alternativa correta em relação a ela.
A) Possui 3 raízes reais, sendo duas distintas.
B) Possui 4 raízes reais, sendo três distintas.
C) Possui 4 raízes reais, sendo duas distintas.
D) Possui 1 raiz real.
E) Não possui raiz real.
Questão 3
Marque a alternativa que possui a forma fatorada de uma equação polinomial cujo an=1 e as raízes são 2, 3 e 7, ambas com suas multiplicidades sendo respectivamente iguais a 7, 4 e 2.
A) \( \left(x+2\right)^7\left(x+3\right)^4\left(x+7\right)^2\)
B) \( \left(x+7\right)^2\left(x+4\right)^3\left(x+2\right)^7\)
C) \( \left(x-2\right)^7\left(x-3\right)^4\left(x-7\right)^2\)
D) \( \left(x+7\right)^2\left(x-4\right)^3\left(x+2\right)^2\)
E) \( \left(x-7\right)^2\left(x+3\right)^4\left(x-2\right)^2\)
Questão 4
Determine o valor da expressão b⸳c, derivada da equação polinomial x2-bx+c=0, sabendo que suas raízes são 3 e -4.
A) 12
B) -12
C) 7
D) -7
E) -1
Questão 5
Sabe-se que \(x^2-3x-1=0\). Marque a expressão que vale \(x^4\).
A) 6x+12
B) 9x+24
C) 33x+10
D) 37x+12
E) 42x+8
Questão 6
A equação polinomial \(x^6-x^3-12=0\) possui quantas raízes reais distintas?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Questão 7
O valor de x que satisfaz a equação \(\left(3x-2\right)\cdot2+x-3^2=-4\cdot\left(9-2\right)x-2x+(3-2^3)\cdot4\) é?
A) \(-\frac{3}{37}\)
B) \(-\frac{7}{37}\)
C) \(-\frac{4}{37}\)
D) \(-\frac{1}{37}\)
E) \(-\frac{17}{37}\)
Questão 8
A equação polinomial \(x^3+2x^2-5x-6=0\) possui três raízes reais distintas: a, b e c. Qual das alternativas representa a soma dessas raízes?
A) a+b+c=5
B) a+b+c=2
C) a+b+c=-2
D) a+b+c=6
E) a+b+c=-6
Questão 9
Sejam \(r_1,\ r_2\ e\ r_3\) as raízes da equação polinomial \(x^3-4x^2+2x+1=0,\), em que \(r_1<r_2<r_3\). Calcule o valor de \((r_1+r_3)r_2\).
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Questão 10
Qual das alternativas abaixo possui uma das raízes da equação polinomial:
\(2\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)=x^2-9\)
A) 2,5
B) 4,5
C) 6,5
D) 7,5
E) 9,5
Questão 11
Sejam \(r_1\ e \ r_2\) raízes positivas da equação polinomial \(x^3-4x=0, logo\ o\ valor\ {r_1}^{r_2}\) é:
(Considere que \(r_1>r_2\).)
A) 1,25
B) 0,25
C) 2,25
D) 0,50
E) 2,75
Questão 12
Qual é a soma das raízes reais da equação polinomial \(2\left(x-2\right)\cdot\left(x-5\right)^2\left(x-7\right)^3=0\) ?
A) 12
B) 14
C) 70
D) 33
E) -70
Resposta Questão 1
Alternativa A.
\(∆=b^2-4ac\)
\(∆=3^2-4(1)(-4)=25\)
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(x=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2(1)}\)
\(x=\frac{-3\pm5}{2}\)
Logo, as raízes são - 4 e 1.
Resposta Questão 2
Alternativa C.
A equação \(x^4-16x^2+64=0\) é conhecida como biquadrada e pode ser facilmente substituída por uma mudança de variável \((y=x^2)\), ficando com a equação na variável y igual a \(y^2-16y+64=0\).
\(∆=b^2-4ac\)
\(∆=(-16)^2-4(1)(64)=0\)
\(y=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(y=\frac{-(-16)\pm\sqrt0}{2(1)}\)
\(y_1=\frac{16+0}{2}=8\)
\(y_2=\frac{16-0}{2}=8\)
Logo, as raízes na variável x são dadas pela resolução da expressão \(x^2=8\).
\({y}_\mathbf{1}=\pm\sqrt8 \ e\ {y}_\mathbf{2}=\pm\sqrt8\)
Dessa expressão concluímos que são quatro raízes reais, porém duas delas têm multiplicidade 2.
Resposta Questão 3
Alternativa C.
A forma fatorada de uma equação polinomial é dada por \(a_n\left(x-r_i\right)^{m_i}\left(x-r_{m-i}\right)^{m_{i-1}}\ldots.\left(x-r_2\right)^2\left(x-r_1\right)\), e m é a multiplicidade da raiz r.
Substituindo as informações dadas acima, temos que:
\(1\cdot{(x-2)}^7{(x-3)}^4{(x-7)}^2\)
Resposta Questão 4
Alternativa A.
Sabemos que a equação do tipo \(x^2-(soma)x+produto=0\) é característica de resolução por soma e produto. Pelos dados fornecidos pelo exercício, temos que:
\(x^2-bx+c=0\)
\(x^2-(soma)x+produto=0\)
Logo, \(a \ soma=-4+3=-1\ e\ o\ produto=-4\left(+3\right)=-12\).
Assim, podemos concluir que \(b=-1\ e\ c=-12, logo\ b⸳c=(-1)(-12)=12\).
Resposta Questão 5
Alternativa C.
Essa é uma questão de olhar para a equação polinomial separando o maior grau (2º).
\(x^2-3x-1=0\)
\(x^2=3x+1\)
Como queremos o valor de \(x^4\), podemos olhar da seguinte forma:
\(x^4=x^2\cdot x^2=\left(3x+1\right)\left(3x+1\right)=\)
\(= {9x}^2+6x+1=9\left(3x+1\right)+6x+1=27x+9+6x+1=33x+10\)
Resposta Questão 6
Alternativa B.
Para resolvermos essa equação, devemos substituir \(x^3=y\), logo a nova equação será:
\(y^2-y-12=0\)
As raízes dessa equação em y são \(y_1=-3 \ e\ y_2=4\).
Levando esses resultados para a variável x, teremos \(x=\sqrt[3]{-3} \ e\ x=\sqrt[3]{4}\). Desse modo, temos duas raízes reais distintas.
Resposta Questão 7
Alternativa B.
Essa é uma equação de primeiro grau, assim devemos apenas isolar a variável x.
\(\left(3x-2\right)\cdot2+x-3^2=-4\cdot\left(9-2\right)x-2x+(3-2^3)\cdot4\)
\(6x-4+x-9=-36x+8x-2x+(3-8)\cdot4\)
\(7x-13=-30x-20\)
\(37x=13-20\)
\(37x=-7\)
\(x=-\frac{7}{37}\)
Resposta Questão 8
Alternativa C.
A equação polinomial do terceiro grau é da forma \(ax^3+bx^2+cx+d=0\).
Dessa equação e utilizando as relações de Girard, temos que a soma dessas três raízes da equação é \(x^3+2x^2-5x-6=0, dada\ por -\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2\).
Resposta Questão 9
Alternativa B.
Como é uma equação do terceiro grau, devemos encontrar uma raiz para reduzir o grau dessa equação para o grau 2, na qual temos uma fórmula que nos auxilia.
A soma dos coeficientes da equação \(x^3-4x^2+2x+1=0\) é \(1-4+2+1=0\), logo x = 1 é raiz dessa equação. Aplicando o "Teorema de D'Alembert", temos:
\(x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)\)
Resolvendo \( x^2-3x-1=0\), temos que \(x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}\).
\(x_1=\frac{3-\sqrt{13}}{2}<1\)
\(x_2=\frac{3+\sqrt{13}}{2}>1\)
Logo, concluímos que \(\left(r_1+r_3\right)r_2=\left(\frac{3-\sqrt{13}}{2}+\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\cdot1=3\).
Resposta Questão 10
Alternativa D.
Vamos fatorar a expressão \(x^2-9=(x+3)(x-3)\).
De posse dessa fatoração podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:
\(2\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)=(x+3)(x-3)\)
Se x=3 , temos uma raiz real.
Caso x≠3, poderíamos simplificar a expressão, chegando a:
\( 2\left(x-4\right)\left(x-6\right)=(x+3) \)
\(2x^2-20x+48-x-3=0\)
\(2x^2-21x+45=0\)
Como \(∆=441-360=81\), temos que as raízes dessa equação são \(x_1=7,5 \ e\ x_2=3\).
Resposta Questão 11
Alternativa B.
Por observação temos que x=0 é solução da equação polinomial \(x^3-4x=0\). Para um x diferente de zero, podemos simplificar a equação, ficando \(x^2-4=0\), o que nos leva às raízes \(r_1=2 \ e\ r_2=-2\), de onde concluímos que:
\({r_1}^{r_2}=2^{-2}=\frac{1}{4}=0,25\)
Resposta Questão 12
Alternativa D.
Observe que a equação polinomial acima está fatorada, o que nos concede a opção de resolver cada parêntese.
\(\left(x-2\right)=0, logo \ x=2.\)
\(\left(x-5\right)=0, logo\ x=5.\)
\(\left(x-7\right)=0, logo\ x=7.\)
Como o exercício pediu a somas das raízes reais, devemos levar em consideração a sua multiplicidade, ou seja, quantas vezes essa raiz deve ser somada. Temos então que a soma das raízes dessa equação é \(2+5\cdot2+7\cdot3=33\).