Questão 2
Determine quais números compõem o conjunto solução da equação modular a seguir:
|4x + 3| = – 3x + 7
Questão 4
(PUC – SP) O conjunto solução S da equação |2x – 1| = x – 1 é:
a) S = {0, 2/3}
b) S = {0, 1/3}
c) S = Ø
d) S = {0, – 1}
e) S = {0, 4/3}
Questão 5
(UEPA) O conjunto solução da equação |x|² – 2|x| – 3 = 0 é igual a:
a) S = {– 1, 3}
b) S = {– 3, 3}
c) S = {– 1, 1}
d) S = {– 3, 1}
e) S = {1, 3}
Questão 6
(Mackenzie – SP) A soma dos valores de x que satisfazem a igualdade |x² – x – 2| = 2x + 2 é:
a) 1
b) 3
c) – 2
d) 2
e) – 3
Resposta Questão 1
Para resolver a equação modular proposta, precisamos nos lembrar da seguinte propriedade:
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De acordo com essa propriedade, podemos montar as duas seguintes equações:
| 3x – 1 = 2x + 6 3x – 2x = 6 + 1 x = 7 |
3x – 1 = – (2x + 6) 3x – 1 = – 2x – 6 3x + 2x = – 6 + 1 5x = – 5 x = – 1 |
Temos então o seguinte conjunto solução: S = {– 1, 7}.
Resposta Questão 2
A propriedade básica de módulo afirma que .jpg)
. Sendo assim, temos duas resoluções possíveis para essa equação modular:
| 4x + 3 = – 3x + 7 4x + 3x = 7 – 3 7x = 4 x = 4 7 |
4x + 3 = – (– 3x + 7) 4x + 3 = 3x – 7 4x – 3x = – 7 – 3 x = – 10 |
Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {– 10, 4/7}.
Resposta Questão 3
Para resolver essa equação modular, dividiremos a análise dos módulos em etapas:
I) |x + 1|
|
|x + 1| = x + 1, se x + 1 ≥ 0 |x + 1| = x + 1, se x ≥ – 1 |
|x + 1| = – (x + 1), se x + 1 < 0 |x + 1| = – x – 1, se x < – 1 |
II) |2x – 1|
|
|2x – 1| = 2x – 1, se 2x – 1 ≥ 0 |2x – 1| = 2x – 1, se x ≥ ½ |
|2x – 1| = – (2x – 1), se 2x – 1 < 0 |2x – 1| = – 2x + 1, se x < ½ |
Observe no quadro a seguir como se comportam as soluções:
(1).jpg)
Faremos agora o estudo de cada caso:
| – 3x = 3 x = 3 – 3 x' = – 1 |
– x + 2 = 3 – x = 3 – 2 x'' = – 1 |
3x = 3 x = 3 3 x'' = 1 |
Vamos substituir os valores encontrados (x' = – 1 e x'' = 1) na equação:
| |x + 1| + |2x – 1| = 3 |– 1 + 1| + |2.(– 1) – 1| = 3 0 + |– 2 – 1| = 3 |– 3| = 3 3 = 3 A igualdade é verdadeira! |
|x + 1| + |2x – 1| = 3 |1 + 1| + |2.1 – 1| = 3 |2| + |2 – 1| = 3 |2| + |1| = 3 2 + 1 = 3 3 = 3 A igualdade é verdadeira! |
Portanto, o conjunto solução dessa equação é S = {– 1, 1}.
Resposta Questão 4
Como o módulo |2x – 1| não pode ser negativo, precisamos que x – 1 seja maior ou igual a zero.
x – 1 ≥ 0
x ≥ 1
Resolvendo a equação modular |2x – 1| = x – 1, podemos estabelecer outras duas igualdades:
| 2x – 1 = x – 1 2x – x = – 1 + 1 x = 0 |
2x – 1 = – (x – 1) 2x – 1 = – x + 1 2x + x = 1 + 1 3x = 2 x = 2/3 |
Portanto, o conjunto solução seria S = {0, 2/3}, mas pela condição inicial, vimos que x ≥ 1 e os dois valores da solução são menores do que 1. Portanto, a solução correta é S = Ø, e a alternativa que indica a resposta adequada é a letra c.
Resposta Questão 5
Para resolver equações modulares quadradas, o ideal é substituir o módulo da variável por uma incógnita qualquer. Sendo assim, faremos |x| = y, com y ≥ 0, pois o módulo não pode ser negativo. Chegaremos à seguinte equação do 2° grau:
y² – 2y – 3 = 0
Para resolver essa equação, utilizaremos a fórmula de Bhaskara:
Δ = (– 2) – 4.1.(– 3)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
y = –(– 2) ± √16
2.1
y = 2 ± 4
2
y' = 2 + 4 = 6 = 3
2 2
y'' = 2 – 4 = – 2 = – 1
2 2
Encontramos dois valores para y: y' = 3 e y'' = – 1. Mas como y ≥ 0, a solução adequada é apenas y' = 3. Voltemos agora à equação modular |x| = y. Se .jpg)
, então |x| = 3 ↔ x' = 3 e x'' = – 3.
O conjunto solução correto é o indicado na alternativa b.
Resposta Questão 6
Sabendo que o módulo |x² – x – 2| não pode ser negativo, temos a condição inicial de que 2x + 2 deve ser maior ou igual a zero. Logo:
2x + 2 ≥ 0
2x ≥ – 2
x ≥ – 2
2
x ≥ – 1
Resolvendo a equação modular |x² – x – 2| = 2x + 2, podemos criar duas equações do 2° grau, que resolveremos através da fórmula de Bhaskara:
|
x² – x – 2 = 2x + 2
x = – (– 3) ± √25 x = 3 ± 5 x' = 3 + 5 = 8 = 4 x'' = 3 – 5 = – 2 = – 1 |
x² – x – 2 = – (2x + 2)
x = – 1 ± √1 x = – 1 ± 1 x' = – 1 + 1 = 0 = 0 x'' = – 1 – 1 = – 2 = – 1 |
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Portanto, o conjunto solução é S = {– 1, 0, 4}. Todos os valores encontrados pertencem à solução, pois a condição inicial estabelece que x ≥ – 1. No entanto, o enunciado pede o valor da soma dos valores de x, logo, – 1 + 0 + 4 = 3. Sendo assim, a alternativa correta é a letra b.
