Exercícios sobre divisão de polinômios

Alternativa E.

Calculando a divisão dos polinômios (soma algébrica de monômios), temos que:

Então, o resto dessa divisão é igual a 0.

Alternativa D.

Se x³ - 2x² + nx + 4 é divisível por x -2, então, pelo teorema do resto do polinômio:

x – 2 = 0

x = 2

Substituindo x = 2 no dividendo:

$2^3-2⋅2^2+n⋅2+4=0$

$8-8+2n+4=0$

$2n+4=0$

$2n=-4$

$n=\frac{-4}2$

$n=-2$

Alternativa C.

Calculando a divisão dos polinômios:

Alternativa E.

Sabemos que:

P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)

Logo, temos que:

P(x) = (x² + 2x – 5)(3x – 1) + (5x + 2)

P(x) = (3x³ + 6x² - 15x – x² – 2x + 5) + (5x + 2)

P(x) = (3x³ + 5x² - 17x + 5) + (5x + 2)

P(x) = 3x³ + 5x² - 12x + 7

Alternativa D.

Sabemos que:

P(x) = D(x) ⋅ Q(x) + R(x)

Então:

$P(x) = (x² + 2x – 1) (x+2) + ( - 2)$

Calculando x = - 1:

$P(-1)=((-1)^2+2(-1)-1) (-1+2)-2$

$P(-1)=(1-2-1)⋅1-2$

$P(-1)=(1-3)⋅1-2$

$P(-1)=-2⋅1⋅-2$

$P(-1)=-2-2$

$P(-1)=-4$

Alternativa A.

$\frac{4x^2 y^4+8xy^5-2xy+6x^4 y^2}{2xy}$

Dividiremos cada monômio (expressão algébrica composta por letras e números) por 2xy:

$4x^2 y^4:2xy=2xy^3$

$8xy^5:2xy=4y^4$

$-2xy∶2xy = - 1$

$6x^4 y^2:2xy=3x^3 y$

A solução é o polinômio:

$2xy^3+4y-1+3x^3 y$

Alternativa B.

I. O resto na divisão entre polinômios sempre terá grau menor que o grau do divisor. (verdadeira)

II. Quando a divisão de P(x) por D(x) é 0, podemos afirmar que P(x) não é divisível por D(x). (falsa)

Quando o resto da divisão é 0, significa que P(x) é divisível por D(x).

Alternativa D.

Calculando a divisão dos polinômios:

Note que 4x + 5 é um polinômio de grau 1.

Alternativa C.

Ao fazer a divisão de $2x^5$ por $2x^2$, encontramos o monômio x³, que será o maior expoente obtido na divisão, logo o grau do polinômio que resulta da divisão de P(x) por D(x) é igual a 3.

Alternativa D.

Calculando P(2):

$P(2)=2⋅2^2+3⋅2-1$

$P(2)=8+6-1$

$P(2)=14-1$

$P(2)=13$

Calculando D(-2):

$D(-2)=3⋅(-2)^2+4⋅(-2)-5$

$D(-2)=3⋅4-8-5$

$D(2)=12-13$

$D(2)=-1$

Então, temos a divisão:

$P(2):D(2)=13:(-1)=-13$

Alternativa B.

Pelo teorema do resto, temos que:

x – 1 = 0

x = 1

Substituindo 1 no valor de x em P(x) e igualando a zero:

$0=3⋅1^2+2⋅1-k$

$0=3+2-k$

$k=3+2$

$k =5$

Alternativa D.

Se P(3) = 0, então o polinômio D(x) = x – 3 divide P(x). Como o resto da divisão de P(x) por Q(x) é zero, temos que:

P(x) = Q(x)$⋅D(x)$

Logo:

P(x) = (x² - x – 3) ( x – 3)

P(x) = x³ - x² - 3x – 3x² +3x + 9

P(x) = x³ - 4x² + 9

Note, então, que:

x³ - mx² + n = x³ - 4 x² + 9

Igualando m ao coeficiente de x²:

- m = - 4

m = 4

Igualando n ao termo independente:

n = 9

A diferença n – m = 9 – 4 = 5.