Questão 1
Um retângulo possui área igual a 60 m2. Sabendo que seus lados medem x + 3 e x – 2, qual das equações a seguir representa a relação entre as medidas de seus lados e a medida de sua área?
a) x + 1 = 60
b) x + 3 + x – 2 = 60
c) 2x2 – 6 = 60
d) x2 + x – 66 = 0
e) x2 + x = 54
Questão 2
Um polígono regular possui 170 diagonais. Quantos lados ele tem?
a) 15
b) 17
c) 20
d) 23
e) 25
Questão 3
Qual é a medida do maior lado de um retângulo cuja área é igual a 72 m2 e cuja base mede o dobro de sua altura?
a) 12 metros
b) 8 metros
c) 6 metros
d) 5 metros
e) 1 metro
Questão 4
Um retângulo possui medidas 2 x 5 metros. Se aumentarmos sua base na mesma quantidade em que aumentarmos sua altura, sua área será sete vezes a área do retângulo original. Quais as medidas do novo retângulo?
a) 5 e 5 metros
b) 7 e 10 metros
c) 2 e 5 metros
d) 12 e 14 metros
e) 1 e 2 metros
Resposta Questão 1
A área de um retângulo é dada pelo produto entre sua base e altura. Como possuímos medidas distintas de dois lados de um retângulo, podemos considerar que essas medidas são de sua base e altura. Logo:
(x + 3)(x – 2) = 60
x2 – 2x + 3x – 6 = 60
x2 + x – 6 = 60
x2 + x – 6 – 60 = 0
x2 + x – 66 = 0
Alternativa D
Resposta Questão 2
Para determinar a quantidade de lados desse polígono, poderemos usar a fórmula do cálculo do número de diagonais a partir do número de lados. Observe:
D = n(n – 3)
2
170 = n(n – 3)
2
2·170 = n(n – 3)
340 = n2 – 3n
n2 – 3n – 340 = 0
A solução desse problema pode ser feita por meio da fórmula de Bháskara:
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)
Δ = 9 + 1360
Δ = 1369
n = – b ± √Δ
2a
n = – (– 3) ± √1369
2
n = 3 ± 37
2
n = 3 + 37 = 40 = 20
2 2
Não é necessário calcular a outra raiz, pois ela é negativa e não pode haver polígono com número negativo de lados. Sendo assim, o polígono com 170 diagonais possui 20 lados.
Alternativa C
Resposta Questão 3
A área do retângulo é dada pelo produto da base pela altura. Supondo que a altura desse retângulo mede x, sua base medirá 2x. Assim, teremos:
2x·x = 72
2x2 = 72
x2 = 72
2
x2 = 36
x = ± √36
x = 6 ou – 6
O valor negativo não importa, pois não pode existir retângulo com um lado medindo – 6 metros. A medida encontrada foi do menor lado do retângulo, entretanto, o exercício pede o maior. Sabendo que o maior lado é o dobro do menor, teremos:
2·6 = 12 metros
Alternativa A
Resposta Questão 4
A área do retângulo inicial é:
2·5 = 10 m2
A área do novo retângulo é:
(2 + x)(5 + x) = 7·10
10 + 2x + 5x + x2 = 70
x2 + 7x + 10 – 70 = 0
x2 + 7x – 60 = 0
Δ= b2 – 4·a·c
Δ = (– 7)2 – 4·1·(– 60)
Δ = 49 + 240
Δ = 289
x = – b ± √Δ
2a
x = – (7) ± √289
2
x = – 7 ± 17
2
x = – 7 + 17 = 10 = 5
2 2
O outro valor de x ficará negativo. Como não pode existir retângulo com lado negativo, então será inútil encontrá-lo.
As medidas do retângulo são: 2 + x = 2 + 5 = 7 metros; 5 + x = 5 + 5 = 10 metros.
Alternativa B