Questão 1
Quais são as raízes da função f(x) = x2 + 6x – 16?
a) S = {2, –8}
b) S = {8, –2}
c) S = {}
d) S = {2, 2}
e) S = {– 8, –8}
Questão 2
Um empreendimento tem rendimentos dados pela função f(x) = x2 + 10x – 24, com x > 0 e x sendo o valor investido em milhões de reais. Que valor deve ser investido para que não haja rendimentos nem prejuízos?
a) 1 milhão
b) 2 milhões
c) 3 milhões
d) 4 milhões
e) 5 milhões
Questão 3
(UNCISAL/2015)
Funções polinomiais: uma visão analítica
Uma das principais razões pelas quais estamos interessados em estudar o gráfico de uma função real é determinar o número e a localização (pelo menos aproximada) de seus zeros. (Recorde que zero de uma função f é uma raiz da equação f(x) = 0). O problema de calcular as raízes de uma equação sempre foi objeto de estudo da Matemática ao longo dos séculos. Já era conhecida, na antiga Babilônia, a fórmula para o cálculo das raízes exatas de uma equação geral do segundo grau. No século XVI, matemáticos italianos descobriram fórmulas para o cálculo de soluções exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. Essas fórmulas são muito complicadas e, por isso, são raramente usadas nos dias de hoje. Perguntas do tipo:
- Qual é o maior número de zeros que uma função polinomial pode ter?
- Qual é o menor número de zeros que uma função polinomial pode ter?
- Como podemos encontrar todos os zeros de um polinômio, isto é, como podemos encontrar todas as raízes de uma equação polinomial? ocuparam as mentes dos matemáticos até o início do século XIX, quando este problema foi completamente resolvido. [...]
Disponível em:
<http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/
sala/conteudo/capitulos/cap111s4.html>.
Acesso em: 24 out. 2014 (adaptado).
Levando em conta que x = 1 é um dos zeros da função f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6, qual o valor da soma dos outros zeros?
a) –6
b) –5
c) 0
d) 5
e) 6
Questão 4
(IFSC/2013)
O conjunto solução de toda equação do segundo grau da forma ax2+bx+c=0 pode ser determinado por:
Δ = b2 – 4ac
x = – b ± √Δ
2a
É CORRETO afirmar que o conjunto solução da equação seguinte é:
x2 = – x + 2
3 3
a) S= { }
b) S= {1,2}
c) S= {2,4}
d) S= {2,3}
e) S = {2, –3}
Resposta Questão 1
Lembre-se de que raízes são os valores de x quando f(x) = 0. Utilizando o método de completar quadrados, teremos:
0 = x2 + 6x – 16
x2 + 6x – 16 = 0
x2 + 2·3x = 0 + 16
x2 + 2·3x + 9 = 16 + 9
(x + 3)2 = 25
√[(x + 3)2] = √25
x + 3 = ± 5
x = ± 5 – 3
x' = – 5 – 3 = – 8
x'' = 5 – 3 = 2
Gabarito: Letra A.
Resposta Questão 2
Um investimento que não gera lucros nem prejuízos deve ter rentabilidade igual a zero, ou seja, procuramos pelas raízes da função f(x). Utilizaremos para isso o método completar quadrados:
f(x) = x2 + 10x – 24 = 0
x2 + 10x – 24 = 0
x2 + 10x = 0 + 24
x2 + 2·5x = 24
x2 + 2·5x + 25 = 24 + 25
(x + 5)2 = 49
√[(x + 5)2] = √49
x + 5 = ± 7
x = ± 7 – 5
x' = – 7 – 5 = – 12
x'' = 7 – 5 = 2
Como estamos interessados apenas em x > 0, então, com um investimento de 2 milhões, não haverá lucro nem prejuízo.
Gabarito: Letra B.
Resposta Questão 3
Os zeros ou raízes de uma função são os valores que a tornam igual a zero, isto é, são os valores de x para os quais f(x) = 0. Portanto, só precisamos calcular os valores de x tais que:
0 = x3 – 6x2 + 11x – 6
Sabendo que x = 1 é raiz de f(x), podemos escrever:
f(x) = g(x)(x – 1)
*g(x) é uma função do segundo grau que, multiplicada por x – 1, é igual a f(x). Note que essa última expressão é verdadeira, pois, quando x = 1, temos:
f(x) = g(x)(x – 1)
f(x) = g(x)(1 – 1)
f(x) = g(x)(0)
f(x) = 0
Para encontrar g(x), basta realizar a divisão de f(x) por x – 1, pois:
f(x) = g(x)(x – 1)
f(x) = g(x)
x – 1
Segue a divisão de polinômios:
x3 – 6x2 + 11x – 6 | x – 1
– x3 – 6x2 x2 – 5x +6
– 5x2 + 11x
5x2 – 5x
6x – 6
– 6x + 6
0
Logo, g(x) = x2 – 5x +6. As outras duas raízes de f(x) são as raízes de g(x). Para encontrá-las, usaremos o método de completar quadrados. Para realizá-lo, basta somar uma parcela à equação do segundo grau que a transforme em quadrado perfeito e, depois, fatorá-la por meio de produtos notáveis. Confira:
x2 – 5x + 6 = 0
x2 – 5x = 0 – 6
x2 – 2·2,5x = 0 – 6
x2 – 2·2,5x + 6,25 = 0 – 6 + 6,25
(x – 2,5)2 = 0,25
√[(x – 2,5)2] = √0,25
x – 2,5 = ± 0,5
x = ± 0,5 + 2,5
x' = 0,5 + 2,5 = 3
x'' = – 0,5 + 2,5 = 2
Portanto, a soma das raízes é:
x' + x'' = 2 + 3 = 5
Gabarito: Letra D.
Resposta Questão 4
Multiplique toda a equação por 3 e mova todos os termos para um único lado da equação:
x2 = – x + 2
3 3
3·x2 = 3·(– x) + 3·2
3 3
x2 = – x + 6
x2 + x – 6 = 0
Agora utilize o método de completar quadrados para resolvê-la:
x2 + x – 6 = 0
x2 + 2·0,5x = 0 + 6
x2 + 2·0,5x + 0,25 = 0 + 6 + 0,25
(x + 0,5)2 = 6,25
√[(x + 0,5)2] = √6,25
x + 0,5 = ± 2,5
x = ± 2,5 – 0,5
x' = 2,5 – 0,5 = 2
x'' = – 2,5 – 0,5 = – 3
S = {2, – 3}
Gabarito: Letra E.
