Questão 3
(FGV /2016) O resto da divisão do número 62015 por 10 é igual a:
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
Questão 4
(UNCISAL/2016)
Divisão euclidiana e o teorema fundamental da aritmética
A divisão euclidiana, ou divisão com resto, é uma das quatro operações que toda criança aprende na escola. Sua formulação precisa é: dados a, b inteiro e diferente de 0, existem q e r pertencentes a Z, com 0 < r ≤ |b| e a = bq + r. Tais q e r estão unicamente determinados e são chamados o quociente e o resto da divisão de a por b, respectivamente.
Disponível em: <http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/mersenne/node4.html>.
Acesso em: 25 out. 2015 (adaptado).
Quais são, respectivamente, o resto e o quociente da divisão de –30 por –4?
a) –2 e 7.
b) 0 e 7.
c) 2 e 8.
d) 7 e –2.
e) 8 e 2.
Resposta Questão 1
Aplicando o algoritmo da divisão, temos:
45'89 | 7
-42 655
38
-35
39
-35
4
A divisão de 4589 por 7 tem os seguintes resultados:
Quociente (q) = 655
Resto (r) = 4
Como o Dividendo (D) é 4589 e o divisor é 7, escrevemos:
4589 = 7·655 + 4
Resposta Questão 2
Aplicando o algoritmo da divisão e construindo a tabuada de 42, teremos:
138'9 | 42
-126 33
129
-126
3
O resto da divisão de 1389 por 42 é 3.
Resposta Questão 3
Para resolver esse exercício, não é necessário calcular 62015, mas somente descobrir qual é o último algarismo dessa potência. Para tanto, observe as seguintes potências:
62 = 36
63 = 216
64 = 1296
65 = 7776
Dessa forma, podemos presumir que, em qualquer potência de 6, o resultado terá como algarismo final o próprio número 6. Isso é verdade, pois 6·6 = 36; ao multiplicar 36 por 6, teremos novamente, no algarismo final, o número 6. Seguindo esse raciocínio, qualquer potência de base 6 terá como último algarismo o próprio 6.
Por outro lado, considerando os dois últimos algarismos de uma potência de base 6, teremos uma dezena terminada em 6. Suponha que essa dezena seja 36:
36 = 10·3 + 6
36 é dividendo, 10 é divisor, 3 é quociente e 6 é resto. Observe que, independentemente do número que ocupe a posição das dezenas, ele será divisível por 10 e deixará resto 6. Portanto, o resto da divisão de 62015 por 10 é igual a 6.
Letra C.
Resposta Questão 4
Para encontrar quociente e resto de uma divisão, basta aplicar o algoritmo da divisão até que o resto torne-se menor que o divisor. A divisão pode ser feita normalmente utilizando jogo de sinais.
– 30 | – 4
32 8
2
Repare que dividendo e divisor são negativos. Seguindo o método do algoritmo da divisão, é necessário procurar na tabuada do – 4 um número que, multiplicado por ele mesmo, aproxime-se de – 30. Esse número é o 8.
Note que um aluno desatento diria que é o 7, pois, quando não é possível uma divisão exata, o resultado da multiplicação do quociente pelo divisor deve ser menor que o dividendo. Porém, como são números negativos, essa regra aplica-se de forma invertida. Logo, – 32 é menor que – 30. Portanto, o quociente é 8, e não 7.
Note também que o número 32 aparece positivo no desenvolvimento do cálculo. Isso acontece porque o resultado do produto do quociente pelo divisor deve ser diminuído do dividendo. Dessa forma, teremos:
– 30 = – 4·8 + r
– 30 = – 32 + r
– 30 + 32 = r
r = 2
Letra C.
