Exercícios sobre lei da gravitação universal

Alternativa A.

Primeiramente encontraremos a expressão da força gravitacional entre a Terra e a Lua por meio da fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G\cdot \frac{m_T\cdot m_L}{r^2}$

Em seguida, encontraremos a expressão da força gravitacional entre a Terra e a Lua, depois de duplicar suas massas e reduzir sua distância pela metade, por meio da fórmula da lei da gravitação universal:

$F' = G\cdot \frac{m'_T\cdot m'_L}{r'^2}$

$F' = G \cdot \frac{2 \cdot m_T \cdot 2 \cdot m_L}{\left( \frac{r}{2} \right)^2}$

$F' = G \cdot \frac{4 \cdot m_T \cdot m_L}{\left( \frac{r^2}{4} \right)}$

$F' = G \cdot \frac{4 \cdot m_T \cdot m_L}{r^2} \cdot 4$

$F' = 16 \cdot (G \cdot \frac{ m_T \cdot m_L}{r^2})$

$F' = 16 \cdot F$

Alternativa C.

Calcularemos a razão entre as distâncias do foguete ao planeta e ao satélite igualando as forças de atração gravitacional por meio da sua fórmula:

$F_{FP} = F_{FS}$

$G \cdot \frac{m_F \cdot m_P}{r_{FP}^2} = G \cdot \frac{m_F \cdot m_S}{r_{FS}^2}$

$G \cdot \frac{m_F \cdot m_P}{R^2} = G \cdot \frac{m_F \cdot m_S}{r^2}$

Eliminando os termos semelhantes, temos:

$\frac{m_P}{R^2} = \frac{m_S}{r^2}$

$\frac{R^2}{r^2} = \frac{m_P}{m_S}$

Como a razão entre as massas de um planeta e de um satélite é 81, então:

$\frac{R^2}{r^2} = 81$

$\sqrt{\frac{R^2}{r^2}} = \sqrt{81}$

$\frac{R}{r} = 9$

Alternativa C.

Primeiramente, descobriremos a expressão da força gravitacional entre o planeta Saturno e o Sol empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F_{Sat} = G \cdot \frac{m_{Sat} \cdot m_{Sol}}{d_{Sat}^2}$

No enunciado é mencionada que a massa de Saturno é 100 vezes a massa da Terra e que Saturno está a uma distância média 10 vezes maior do que a distância média da Terra ao Sol, então:

$F_{Sat} = G \cdot \frac{100 \cdot m_T \cdot m_{Sol}}{(10 \cdot d_T)^2}$

$F_{Sat} = G \cdot \frac{100 \cdot m_T \cdot m_{Sol}}{100 \cdot d_T^2}$

Em seguida, descobriremos a expressão da força gravitacional entre a Terra e o Sol empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F_T = G \cdot \frac{m_T \cdot m_{Sol}}{d_T^2}$

Então a razão F_Sat/F_T é:

$\frac{F_{Sat}}{F_T} = \frac{G \cdot \frac{100 \cdot m_T \cdot m_{Sol}}{100 \cdot d_T^2}}{G \cdot \frac{m_T \cdot m_{Sol}}{d_T^2}}$

$\frac{F_{Sat}}{F_T} = \frac{G \cdot 100 \cdot m_T \cdot m_{Sol}}{100 \cdot d_T^2} \cdot \frac{d_T^2}{G \cdot m_T \cdot m_{Sol}}$

Removendo os termos semelhantes, obtemos:

$\frac{F_{Sat}}{F_T} = \frac{100}{100}$

$\frac{F_{Sat}}{F_T} = 1$

Alternativa D.

A atração gravitacional entre as massas não depende da rotação da Terra.

Alternativa B.

A força gravitacional é diretamente proporcional à massa dos corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles.

Alternativa E.

Calcularemos a força gravitacional entre esses planetas empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$F = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5 \cdot 10^{10} \cdot 2 \cdot 10^7}{100^2}$

$F = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{5 \cdot 10^{10} \cdot 2 \cdot 10^7}{10000}$

$F = \frac{67 \cdot 10^{(-11+10+7)}}{1 \cdot 10^4}$

$F = 67 \cdot 10^{(-6-4)}$

$F = 67 \cdot 10^{-10}$

$F = 6.7 \cdot 10^{-9} \, \text{N}$

Alternativa D.

Primeiramente, encontraremos a expressão da força gravitacional entre a Terra e a Lua empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G \cdot \frac{m_T \cdot m_L}{r^2}$

Depois encontraremos a expressão da força gravitacional entre a Terra e a Lua empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F' = G \cdot \frac{m'_T \cdot m'_L}{r'^2}$

$F' = G \cdot \frac{2 \cdot m_T \cdot 2 \cdot m_L}{r^2}$

$F' = 4 \cdot G \cdot \frac{m_T \cdot m_L}{r^2}$

$F' = 4 \cdot F$

Alternativa E.

O cientista responsável pelo desenvolvimento da lei da gravitação universal foi sir Isaac Newton, em 1687.

Alternativa A.

Calcularemos a massa dos corpos empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$1 \cdot 10^{-10} = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{M \cdot M}{(5 \cdot 10^4)^2}$

$1 \cdot 10^{-10} = \frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot M^2}{25 \cdot 10^8}$

$M^2 = \frac{1 \cdot 10^{-10} \cdot 25 \cdot 10^8}{6.7 \cdot 10^{-11}}$

$M^2 \cong 3,73 \cdot 10^{(-10+8+11)}$

$M^2 \cong 3,73 \cdot 10^9$

$M \cong \sqrt{3,73 \cdot 10^9}$

$M \cong 6,1 \cdot 10^4 \, \text{kg}$

Alternativa E.

Calcularemos a força gravitacional entre dois planetas empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$F = \frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 1 \cdot 10^{28} \cdot 3 \cdot 10^{22}}{(2 \cdot 10^8)^2}$

$F = \frac{20,1 \cdot 10^{(-11+28+22)}}{4 \cdot 10^{16}}$

$F = \frac{20,1 \cdot 10^{39}}{4 \cdot 10^{16}}$

$F = 5,025 \cdot 10^{(39-16)}$

$F = 5,025 \cdot 10^{23} \, \text{N}$

Alternativa D.

Calcularemos a distância entre os dois corpos empregando a fórmula da lei da gravitação universal:

$F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

$200000 = 6,7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{120000 \cdot 40000}{r^2}$

$r^2 = 6,7 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{ 120000 \cdot 40000}{200000}$

$r^2 = \frac{0,3216}{200000}$

$r^2 = 0,000001608$

$r = \sqrt{0,000001608}$

$r \cong 0,0013 \, \text{m}$

Alternativa B.

I. A força é medida em Newton-metro. (incorreta)

A força é medida em Newton.

II. A massa gravitacional é medida em quilograma quadrado. (incorreta)

A massa gravitacional é medida em quilograma.

III. A distância é medida em metros quadrados. (correta)

IV. A constante de gravitação universal é medida em Newton-metro quadrado por quilograma quadrado. (correta)