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Exercícios sobre volume do tronco de cone

Esta lista de exercícios sobre volume do tronco de cone auxiliará em seus estudos a respeito de um dos aspectos desse sólido geométrico.

Questão 1

Analise o copo a seguir:

Copo de plástico com 62 mm de altura, 45 mm de diâmetro da base menor e 70 mm de diâmetro da base maior.

Utilizando π  = 3, o volume desse copo é de, aproximadamente:

A) 100 ml

B) 150 ml

C) 200 ml

D) 250 ml

E) 300 ml

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Questão 2

Um recipiente no formato de um tronco de cone possui altura de 12 cm, e raios medindo 15 cm e 25 cm. Utilizando π  = 3,1, o volume desse recipiente é de:

A) 15.190 cm³

B) 14.280 cm³

C) 13.760 cm³

D) 12.990 cm³

E) 11.120 cm³

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Questão 3

Um tronco de cone possui volume de 84π cm³. Sabendo que seus raios medem 6 cm e 3 cm, qual é a altura desse tronco de cone?

A) 3 cm

B) 4 cm

C) 5 cm

D) 6 cm

E) 7 cm

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Questão 4

Um tronco de cone possui base maior com diâmetro de 10 cm e base menor com diâmetro de 6 cm. Se a altura for a média entre o comprimento dos diâmetros, o volume desse tronco de cone, em cm³, é de, aproximadamente:

A) 130,7π

B) 145,4π

C) 150π

D) 152,3π

E) 126,6π

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Questão 5

Uma piscina será construída no formato do tronco de um cone. A exigência é que ela tenha raio maior de 8 metros e raio menor de 5 metros. Qual deve ser a altura da piscina para que a sua capacidade seja de 232.200 litros?

(Use π=3.)

A) 1,5 metros

B) 1,7 metros

C) 1,8 metros

D) 1,9 metros

E) 2,0 metros

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Questão 6

O volume de um tronco de cone é de 344,1 cm³. Sabendo que a sua altura é de 9 cm e o raio maior mede 4 cm, e ainda utilizando π = 3,1, a medida do raio menor é de:

A) 0,5 cm

B) 1 cm

C) 2 cm

D) 3 cm

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Questão 7

Um tronco de cone possui volume igual a 4740 cm³. Sabendo que o raio da base maior é 14 cm e o raio da base menor é 6 cm, então qual é a altura desse tronco de cone?

(Use π = 3.)

A) 10 cm

B) 12 cm

C) 13 cm

D) 14 cm

E) 15 cm

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Questão 8

David precisou informar à empresa o orçamento mensal gasto com água para manter o reservatório da dela sempre cheio. Sabe-se que, no primeiro dia de março, por exemplo, o reservatório estava cheio e que, a cada 7 dias, a empresa faz a troca da água, sendo que será gasto o valor de R$ 15 por metro cúbico utilizado no mês, mais uma taxa fixa de R$ 21 por mês. O reservatório possui formato do tronco de cone, sua altura é de 2 metros, o raio menor é de 2 metros, e o raio maior, de 3 metros. Utilizando π=3 , o valor gasto com água na manutenção da piscina é de:

A) R$ 2319

B) R$ 2493

C) R$ 2550

D) R$ 2624

E) R$ 2871

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Questão 9

(Enem) Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:

• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;

• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.

Uma dessas empresas resolve substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.

Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são, respectivamente, iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:

\(V_{tronco\ de\ cone}=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)\) 

O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a

A) 2,664 cm.

B) 7,412 cm.

C) 12,160 cm.

D) 14,824 cm.

E) 19,840 cm.

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Questão 10

(Ibade) O volume, em metros cúbicos, de um tronco de cone obtido a partir de um cone equilátero de raio igual a \(\sqrt3\) m, cortado na metade da altura, será:

A) \(\ \frac{3\pi}{8}\)

B) \(\frac{2\pi}{3}\)

C) \(\frac{21\pi}{8}\)

D) \(\frac{7\pi}{16}\)

E) \(\frac{3\pi}{16}\)

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Questão 11

(Instituto Consulplan) Um cone circular reto tem o diâmetro da base medindo 12 cm e altura medindo 9 cm. Esse cone é interceptado por um plano β que é paralelo à base e está distante 6 cm do vértice. O volume do tronco de cone assim formado é:

(Use π=3,14.)

A) 76π cm³

B) 108π cm³

C) 238,64π cm³

D) 304π cm³

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Questão 12

Uma pessoa comprou uma caneca para tomar sopa, conforme ilustração.

Ilustração de uma caneca com a altura, o diâmetro da base menor e o diâmetro da base maior destacados.

Sabe-se que 1 cm³ = 1 mL e que o topo da caneca é uma circunferência de diâmetro (D) medindo 10 cm, e a base é um círculo de diâmetro (d) medindo 8 cm. Além disso, sabe-se que a altura (h) dessa caneca mede 12 cm (distância entre o centro das circunferências do topo e da base). Qual é a capacidade volumétrica, em mililitro, dessa caneca?

(Utilize 3 como aproximação para π.)

A) 216

B) 408

C) 732

D) 2196

E) 2928

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Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa C

O copo possui formato de tronco de cone. Retirando os dados:

h = 82 mm

r = 45 : 2 = 22,5

R = 70 : 2 = 35

Calculando o volume:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{3\cdot82}{3}\cdot35²+35⋅22,5+22,52\) 

\(V=82\cdot\left(1225+787,5+506,25\right)\) 

\(V=82\cdot\left(1225+787,5+506,25\right)\) 

\(V=82\cdot2518,75\ \)

\(V=206.537,5 mm³\)

Para transformar de mm para ml, basta dividir por 1000, então temos que:

206.537,5 : 1000 = 206,5375 ml

O volume desse copo é de aproximadamente 200 ml.

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Resposta Questão 2

Alternativa A

Dados:

R = 25 cm

r = 15 cm

h = 12 cm

Calculando o volume do tronco de cone:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{3,1\ \cdot\ 12}{3}\cdot\left({25}^2+25\cdot15+{15}^2\right)\) 

\(V=3,1\cdot4\ \left(625+375+225\right)\) 

\(V=12,4\cdot1225\) 

\(V=15190\ cm³\) 

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Resposta Questão 3

Alternativa B

Sabemos que:

V = 84π cm³

R = 6 cm

r = 3 cm

Substituindo na fórmula:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(6^2+6\cdot3+3^2\right)\) 

\(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(36+18+9\right)\) 

\(84\pi=\frac{\pi h}{3}\cdot63\) 

\(84\pi=\frac{63\pi h}{3}\) 

\(84\pi=21\pi h\) 

\(\frac{84\pi}{21\pi}=h\) 

\(h=4\ cm\) 

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Resposta Questão 4

Alternativa A

Calculando a altura do tronco de cone, temos que:

\(h=\frac{10+6}{2}=\frac{16}{2}=8\ cm\)

Agora temos que:

R = 10 : 2 = 5

r = 6 : 2 = 3

Calculando o volume:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot\left(5^2+5\cdot3+3^2\right)\) 

\(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot\left(25+15+9\right)\) 

\(V=\frac{\pi\cdot8}{3}\cdot49\) 

\(V=130,666...\ \pi\) 

\(V=\ \cong130,7\pi\) 

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Resposta Questão 5

Alternativa C

Sabemos que V = 232.200 litros.

Para transformar de litros para metros cúbicos, dividiremos por 1000, logo, temos que:

V = 232.200 : 1000 = 232,2 m³

Conhecemos os valores dos raios, pois

R = 8 e r = 5

Calculando o volume:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(232,2=\frac{3\cdot h}{3}\cdot\left(8^2+8\cdot5+5^2\right)\) 

\(232,2=h\cdot\left(64+40+25\right)\) 

\(232,2=h\cdot129\) 

\(h=\frac{232,2}{129}\)

\(h=1,8\)

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Resposta Questão 6

Alternativa D

Sabemos que o volume é de 344,1 cm³, além disso, foram dados:

h = 9

R = 4

π = 3,1

Substituindo na fórmula:

\(V=\frac{h\pi}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(344,1=\frac{9\cdot3,1}{3}\cdot\left(4^2+4r+r^2\right)\) 

\(344,1=3\cdot3,1\cdot\left(16+4r+r^2\right)\) 

\(344,1=9,3\cdot\left(16+4r+r^2\right)\) 

\(\frac{344,1}{9,3}=16+4r+r^2\) 

\(37=16+4r+r^2\) 

\(r^2+4r+16-37=0\) 

\(r^2+4r-21=0\) 

Resolvendo a equação do 2º grau, primeiro calcularemos o valor de Δ:

Dados:

a = 1

b = 4

c = -21

Então:

\(\Delta=b^2-4ac\) 

\(\Delta=4^2-4\cdot1\cdot\left(-21\right)\) 

\(\Delta=16+84\) 

\(\Delta=100\) 

Agora, pela fórmula de Bhaskara:

\(r=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\) 

\(r=\frac{-4\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}\) 

\(r=\frac{-4\pm10}{2}\) 

Como o valor procurado é uma medida, a única solução que faz sentido é a solução positiva.

\(r=\frac{-4+10}{2}=\frac{6}{2}=3\) 

Então r = 3 cm.

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Resposta Questão 7

Alternativa E

Sabemos que:

V = 4740

R = 14

r = 6

Logo, temos que:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(4740=\frac{3\cdot h}{3}\cdot\left({14}^2+14\cdot6+6^2\right)\) 

\(4740=h\cdot\left(196+84+36\right)\) 

\(4740=h\cdot316\) 

\(h=\frac{4740}{316}\) 

\(h=15\) 

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Resposta Questão 8

Alternativa E

Primeiro vejamos qual é o volume do reservatório. Como ele possui formato de um tronco de cone, temos que:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{3\cdot2}{3}\cdot\left(3^2+3\cdot2+2^2\right)\) 

\(V=2\cdot\left(9+6+4\right)\) 

\(V=2\cdot19\ \)

\(V=38\ m^3\) 

Sabemos que no dia 1º esse reservatório estava cheio, então ele será preenchido de novo nos dias:

8, 15, 22 e 29, ou seja, 5 vezes.

Assim, o volume de água gasto em metros cúbicos foi de

\(5\cdot38=190\ m^3\) 

O valor pago é de R$ 21 fixo mais R$ 15 por m³, então o gasto G é igual:

\(G=21+15\cdot190\ \)

\(G=21+2850\) 

\(G=2871\ \)

 O valor gasto é de R$ 2871.

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Resposta Questão 9

Alternativa C

Queremos que a caneca seja usada para tomar tanto o café quanto a água, então, nesse caso, é necessário que ela tenha, no mínimo, o volume igual ao do copo maior.

Logo, o valor mínimo para y é tal que:

\(V_{copo\ maior}=V_{caneca}\) 

Como o volume do copo maior é o volume de um tronco de cone, temos que:

\(V_{copo\ maior}=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)\) 

Por outro lado, a caneca possui formato de um cilindro, e o volume do cilindro é:

\(V_{caneca}=\pi r^2\cdot h\) 

Então temos que:

\(\frac{\pi h_1}{3}\cdot\left(R^2+r^2+Rr\right)=\pi r^2\cdot h_2\) 

Simplificando o π dos dois lados e substituindo as informações dadas para as medidas do copo maior e do cilindro, temos que:

\(\frac{8}{3}\left({3,6}^2+{2,4}^2+3,6\cdot2,4\right)=y^2\cdot6\) 

\(\frac{8}{3}\left(12,96+5,76+8,64\right)=y^2\cdot6\) 

\(\frac{8}{3}\cdot27,36=y^2\cdot6\) 

\(72,96=y^2\cdot6\) 

\(y^2=\frac{72,96}{6}\) 

\(y^2=12,16\) 

Então o valor mínimo que \(y^2\) pode admitir é 12,160 cm.

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Resposta Questão 10

Alternativa C

Se o cone é equilátero, para calcular a altura dele, temos que:

\({\sqrt3}^2+h^2=\left(2\sqrt3\right)^2\) 

\(3+h²=4⋅3\) 

\(3+h²=12\) 

\(h²=12-3\) 

\(h²=9\) 

\(h=\sqrt9\) 

\(h=3\) 

Sabendo que a altura do cone é 3, e que o tronco de cone foi cortado na metade, então a altura do cone é de 1,5.

Temos que:

\(R=\sqrt3\) 

\(r=\frac{\sqrt3}{2}\) 

\(h=\frac{3}{2}\) 

Calculando o volume, temos que:

\(V=\frac{1}{3}\cdot\pi h\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{2}\cdot\left(\left(\sqrt3\right)^2+\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\right)\) 

\(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(3+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\right)\) 

\(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(3+\frac{9}{4}\right)\) 

\(V=\frac{\pi}{2}\cdot\left(\frac{12+9}{4}\right)\) 

\(V=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{21}{4}\) 

\(V=\frac{21\pi}{8}\) 

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Resposta Questão 11

Alternativa C

A altura do tronco de cone é igual a

9 – 6 = 3 cm

Sabemos que 3 cm é igual a 2/3 da altura, então o diâmetro também será 2/3 do valor do diâmetro da base.

Assim:

\(D = 12 e d =\ \frac{2}{3}\cdot12 = \frac{24}{3} = 8\)

Logo, temos que:

R = 12 : 2 = 6

r = 8 : 2 = 3

h = 3

Então:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{3\pi}{3}\cdot\left(6^2+6\cdot4+4^2\right)\) 

\(V=\pi\cdot\left(36+24+16\right)\) 

\(V=\pi\cdot76\) 

\(V=3,14\cdot76\) 

\(V=238,64 cm³\)

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Resposta Questão 12

Alternativa C

Sabemos que:

D = 10, então o raio da circunferência maior é R = 10 : 2 = 5 cm.

d = 8, então o raio da circunferência menor é r = 8 : 2 = 4.

h = 12

Substituindo na fórmula:

\(V=\frac{\pi h}{3}\cdot\left(R^2+Rr+r^2\right)\) 

\(V=\frac{3\cdot12}{3}\cdot\left(5^2+5\cdot4+4^2\right)\) 

\(V=12\cdot\left(25+20+16\right)\) 

\(V=12\cdot61\) 

\(V=732\ cm³\) 

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