Exercícios sobre Progressão Geométrica

Como se trata de uma PG, podemos afirmar que a₂ = a₁ · q. Vamos substituir a₂ em a₂ – a₁ = 60:

a₂ – a₁ = 60
a₁ · q – a₁ = 60
a₁ · (q – 1) = 60

Se o primeiro termo a₁ é equivalente ao triplo da razão q, podemos afirmar que a₁ = 3q. Agora substituiremos esse valor de a₁ na equação anterior:

3q · (q – 1) = 60
3q² – 3q – 60 = 0

Podemos dividir toda a equação por três, o que resulta em:

q² – q – 20 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos que:

Δ = b² – 4.a.c
Δ = 1² – 4.1.(– 20)
Δ = 1 + 80
Δ = 81

q = – b ± √Δ
      2.a

q = – (– 1) ± √81
      2.1

q = 1 ± 9
     2

q₁ = 1 + 9 = 10 = 5
    2        2

q₂ = 1 – 9 = – 8 = – 4
2        2

Como se trata de uma PG crescente, q₂ = – 4 não convém, portanto q = 5. Sabendo que a₁ = 3q, vamos determinar o valor de a₁:

a₁ = 3q
a₁ = 3 · 5
a₁ = 15

Dessa forma, a₁ = 15 e q = 5.

Vamos considerar que essa progressão geométrica está iniciando pelo termo a₅. Apenas por um momento, vamos ignorar os quatro primeiros termos da PG, lembrando que a razão q permanece a mesma. Utilizando a fórmula do termo geral da PG, temos:

a_n = a₁ · q^{n – 1}
a₈ = a₅ · q ^{8 – 5}
5 = 135 · q ³
q³ =     5   
       135
q³ =     1   
        27
q = ³√ 1
         ³√27
q = 1
      3

Agora que já encontramos a razão, podemos determinar o 1° termo a₁ da PG através do termo geral:

a_n = a₁ · q^{n – 1}
a₅ = a₁ · q ^{5 – 1}
135 = a₁ · (¹/₃)⁴
a₁ = 135
         ¹/₈₁
a₁ = 135 · 81
        1     1
a₁ = 10.935

Portanto, o primeiro termo dessa progressão é a₁ = 10.935.

Como nós não temos conhecimento da quantidade inicial de coelhos, podemos afirmar que esse valor é x. Sendo assim, passados quatro meses, a população de coelhos tornou-se 2x; passados oito meses, já havia 4x; após 12 meses, a polução de coelhos era de 8x. Isso pode ser representado como uma PG (x, 2x, 4x, 8x) de razão 2.

Conforme o enunciado, atualmente o criador de coelhos possui 8x animais. Se ele deseja voltar a ter apenas a quantidade inicial (x), ele deverá vender 7x. Podemos calcular a porcentagem da criação que ele venderá através do quociente entre 7x e 8x:

7x = 7 = 0,875 = 87,5%
8x    8                         

Portanto, a alternativa correta é a letra d.

Se o automóvel desvaloriza-se 10% ao ano, podemos afirmar que a cada ano seu valor passa a ser apenas 90% do que era anteriormente. Para determinar esse valor a cada ano, basta multiplicar o valor anterior por 0,9 (que equivale a 90%). Dessa forma, há uma progressão geométrica com razão 0,9, por isso utilizaremos a fórmula do termo geral da PG para resolver a questão.

Para tanto, consideremos a₁ = 10.000, q = 0,9 e n = 6 (observe que utilizamos 6 porque, no primeiro ano, não houve desvalorização e só após 5 anos o carro será vendido).

a_n = a₁ · q^{n – 1}
a₆ = a₁ · q ⁵
a₆ = 10.000 · (0,9) ⁵
a₆ = 10.000 · 0,59049
a₆ = 5904,9

Portanto, a alternativa correta é a letra d.