Questão 1
(FACESP) O conjunto solução, no campo real, da equação z4 – 13z2 + 36 = 0 é:
a) S = {-3, -2, 0, 2, 3}
b) S = {-3, -2, 2, 3}
c) S = {-2, -3}
d) S = {0, 2, 3}
e) S = {2, 3}
Questão 2
(Cesgranrio) O produto das raízes positivas de x4 – 11x2 + 18 = 0 vale:
a) 2√3
b) 3√2
c) 4√3
d) 4√2
e) 5√3
Resposta Questão 1
Primeiramente vamos reescrever essa equação para convertê-la em uma equação do segundo grau. Portanto:
z2 = x
Podemos escrever a equação z4 – 13z2 + 36 = 0 como (z2)2 – 13z2 + 36 = 0. Onde há z2, substituiremos por x. Teremos a seguinte equação do segundo grau:
x2 – 13x +36 = 0
Utilizaremos a Fórmula de Bhaskara para resolver a equação de segundo grau. Para isso, temos os coeficientes a = 1; b = – 13 e c = 36.
x = – b ±√Δ
2.a
Vamos encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 13)2 – 4.1.36
Δ= 169 – 144
Δ= 25
Substituindo os valores na fórmula de Bhaskara, temos:
x = – b ±√Δ
2.a
x = – (-13) ±√25
2.1
x = 13 ± 5
2
x' = 13 + 5 = 18 = 9
2 2
x'' = 13 – 5 = 8 = 4
2 2
Os possíveis valores para x são 4 e 9. Sabemos também que z2 = x. Vamos agora verificar os valores de z, se x' = 9:
(z')2 = 9
z' = √9
z' = ± 3
Se x'' = 4, temos ainda:
(z'')2 = 4
z'' = √4
z'' = ± 2
Portanto, as raízes da equação são: – 3, – 2, 2 e 3. A alternativa correta é a (b).
Resposta Questão 2
Vamos reescrever a equação x4 – 11x2 + 18 = 0 da seguinte forma:
(x2)2 – 11x2 + 18 = 0
Fazendo x2 = y, teremos:
y2 – 11 y + 18 = 0
Tendo agora uma equação do 2º grau, podemos destacar os coeficientes a = 1; b = – 11 e c = 18. Vamos então aplicar esses valores na Fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
2.a
Encontraremos os valores de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 11)2 – 4.1.18
Δ= 121 – 72
Δ= 49
Vamos agora substituir os valores para encontrar y:
y = – b ±√Δ
2.a
y = – (– 11) ±√49
2.1
x = 11 ± 7
2
x' = 11 + 7 = 18 = 9
2 2
x'' = 11 – 7 = 4 = 2
2 2
Fazendo x2 = y e considerando y' = 9, temos:
(x')2 = 9
x' = √9
x' = ± 3
Para y'' = 2, segue:
(x'')2 = 2
x'' = √2
x'' = ± √2
O exercício pediu que multiplicássemos as raízes positivas, sendo assim, teremos:
x'.x'' = 3.√2
Portanto, a alternativa correta é a (b).
Resposta Questão 3
Para resolvermos a equação, vamos reescrevê-la a fim de convertê-la em uma equação de 2º grau:
(x5)2 – 33x5 + 32 = 0
Façamos x5 = y. Teremos a seguinte equação:
y2 – 33y + 32 = 0
Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = – 33 e c = 32. Vamos então resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
2.a
Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= (– 33)2 – 4.1.32
Δ= 1089 – 128
Δ= 961
Substituindo os valores na Fórmula de Bhaskara, teremos:
y = – b ±√Δ
2.a
y = – (– 33) ±√961
2.1
x = 33 ± 31
2
x' = 33 + 31 = 64 = 32
2 2
x'' = 33 – 31 = 2 = 1
2 2
Mas como x5 = y, se y' = 32:
(x')5 = 32
x' = 5√32
x' = 2
Se y'' = 1:
(x'')5 = 1
x'' = 5√1
x'' = 1
Portanto, os valores possíveis para x são 1 e 2.
Resposta Questão 4
Novamente vamos tentar deixar essa equação no formato de uma equação de 2 º grau.
(x 3)2 + 6x3 + 9 = 0
Fazendo x3 = y, temos:
y2 + 6y + 9 = 0
Os coeficientes dessa equação são a = 1, b = 6 e c = 9. Vamos resolvê-la utilizando a fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
2.a
Vamos primeiramente encontrar o valor de delta:
Δ = b2 – 4.a.c
Δ= 62 – 4.1.9
Δ= 36 – 36
Δ= 0
Agora substituir os valores na Fórmula de Bhaskara:
y = – b ±√Δ
2.a
y = – 6 ±√0
2.1
y = – 6 ± 0
2
y = – 6
2
y = – 3
Mas como x3 = y:
x3 = y
x3 = – 3
x = 3√-3
Portanto, o valor de x é a raiz cúbica de – 3.
