Exercícios sobre teorema de Tales

Sobre o teorema de Tales, assinale a alternativa que o caracteriza corretamente.

A) Quando dois triângulos possuem lados proporcionais, eles são sempre congruentes.
B) Em um triângulo qualquer, a soma dos seus ângulos internos é sempre igual ao produto de dois de seus lados.
C) Um feixe de retas concorrentes determina, em duas retas transversais, segmentos diretamente proporcionais.
D) Um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos correspondentes proporcionais.

Analise a imagem a seguir:

Podemos afirmar que o valor de x é:

1. 3
2. 4
3. 5
4. 6
5. 8

Analise a imagem a seguir:

Sabendo que x + y = 12, então o valor de x é aproximadamente:

1. 5,5
2. 6,0
3. 6,5
4. 7,0
5. 7,5

Para descobrir a altura de uma árvore, Letícia resolveu aplicar o teorema de Tales. Ela observou a sombra que a árvore projetava no chão e comparou com a sombra de uma estaca de 1,5 metro de altura, cuja medida ela já conhecia. As medições foram feitas conforme a imagem a seguir: a estaca projetava uma sombra de 2 metros, enquanto a sombra da árvore media 64 metros.

Sabendo que os raios solares incidem de forma paralela sobre a árvore e a estaca, é possível afirmar que a altura h da árvore mede:

A) 44 m
B) 46 m
C) 48 m
D) 50 m
E) 52 m

Na figura a seguir as retas r, s e t são paralelas. Sabendo que x é um número natural, analise a imagem:

O valor de x é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Heitor observa duas hastes fincadas verticalmente no chão sob um Sol forte. A primeira haste mede 1,5 m e projeta uma sombra de 2 m. A segunda haste projeta uma sombra de 4 m. Sabendo que os raios do Sol são paralelos e as hastes estão em um terreno plano, qual a altura da segunda haste?

A) 2,5 m
B) 3,0 m
C) 3,5 m
D) 4,0 m
E) 4,5 m

No triângulo a seguir, as medidas foram dadas em centímetros:

Sabendo que a reta r é paralela à base do triângulo e que x + y = 10,5, então x mede:

A) 2,0
B) 2,5
C) 3,0
D) 3,5
E) 4,0

O teorema de Tales é amplamente utilizado na geometria para resolver problemas que envolvem segmentos proporcionais. Sobre esse teorema, analise as afirmativas abaixo.

I – O teorema de Tales afirma que, se um conjunto de retas paralelas é cortado por duas ou mais transversais, então os segmentos determinados nas transversais são proporcionais.

II – Uma das principais aplicações do teorema de Tales é a verificação de semelhança entre triângulos.

III – O teorema de Tales só pode ser aplicado em triângulos retângulos.

Assinale a alternativa correta:

A) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
D) Todas as afirmativas são verdadeiras.
E) Nenhuma afirmativa é verdadeira.

Considere as afirmações abaixo a respeito do teorema de Tales:

I – O teorema de Tales só pode ser aplicado quando há duas transversais e apenas duas retas paralelas.
II – Se duas retas transversais cortam três ou mais retas paralelas, os segmentos correspondentes formados nas transversais são proporcionais.
III – O teorema de Tales pode ser utilizado para descobrir comprimentos desconhecidos em figuras geométricas, desde que existam retas paralelas cortadas por transversais.

Com base nessas informações, marque a alternativa correta:

A) Apenas a afirmativa I está correta.
B) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
C) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
D) Todas as afirmativas estão corretas.
E) Nenhuma das afirmativas está correta.

Existem três terrenos que estão entre a Rua Pequi e a Rua Ipê, como demonstrado na imagem a seguir:

Qual é a medida de a sabendo que a soma a + b + c = 60?

A) 30
B) 25
C) 20
D) 18
E) 16

(Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é

A) 1,16 metro.

B) 3,0 metros.

C) 5,4 metros.

D) 5,6 metros.

E) 7,04 metros.

(IFG) Seja o triângulo ABC da figura a seguir com as seguintes medidas: AC = 50 cm, AE = 20 cm, e AD= 10 cm.

Sabendo que DE é paralelo à BC, a medida do lado AB é de?

A) 15 cm

B) 20 cm

C) 25 cm

D) 30 cm

E) 35 cm

Alternativa D.

A alternativa D descreve a definição do teorema de Tales: um feixe de retas paralelas determina, em duas retas transversais, segmentos correspondentes proporcionais.

 Alternativa B.

\(\frac{3}{6} = \frac{2}{x} \\ 3x = 2 \cdot 6 \\ 3x = 12 \\ x = \frac{12}{3} \\ x = 4 \\ \)

Alternativa C.

Sabemos que:

\(\frac{x + y}{6 + 5} = \frac{x}{6} \\ \frac{12}{11} = \frac{x}{6} \\ 12 \cdot 6 = 11x \\ 11x = 72 \\ x = \frac{72}{11} \\ x = 6{,}5 \\ \)

Alternativa C

Pelo teorema de Tales, temos que:

\(\frac{\text{altura da estaca}}{\text{sombra da estaca}} = \frac{\text{altura da árvore}}{\text{sombra da árvore}} \\ \)

\(\frac{1{,}5}{2} = \frac{h}{64} \\ 2h = 1{,}5 \cdot 64 \\ 2h = 96 \\ h = \frac{96}{2} \\ h = 48 \\\)

Alternativa B.

Aplicando o teorema de Tales, temos que:

\(\frac{1}{x + 1} = \frac{x + 3}{8} \\ (x + 1)(x + 3) = 8 \\ \)

Analisando a equação, sabemos que x é um número natural e que 8 = 2 ⋅ 4. O valor de x que faz com que apareça o produto 2 vezes 4 é x = 1, então temos que:

Se x = 1:

\((1+1)(1+3)=8\\ 2 ⋅4 = 8 \)

Logo, temos que x = 1.

Alternativa B.

\(\frac{\text{altura}_1}{\text{sombra}_1} = \frac{\text{altura}_2}{\text{sombra}_2} \\\)

\(\frac{1{,}5}{2} = \frac{x}{4} \\ 2x = 4 \cdot 1{,}5 \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \\\)

Alternativa D.

Pelo teorema de Tales, temos que:

\(\frac{10{,}5}{x} = \frac{15}{5} \\ \frac{10{,}5}{x} = 3 \\ 3x = 10{,}5 \\ x = \frac{10{,}5}{3} \\ x = 3{,}5 \\ \)

Alternativa A.

I – Verdadeira.

II – Verdadeira.

III – Falsa, pois o teorema de Tales não se restringe somente a triângulos retângulos. Ele pode ser aplicado a qualquer situação que envolva retas paralelas cortadas por transversais.

Alternativa B.

A afirmativa I está incorreta, pois o teorema de Tales não se limita a apenas duas retas paralelas, ele pode envolver três ou mais, desde que cortadas por duas ou mais transversais.

As afirmativas II e III estão corretas.

Alternativa A.

Primeiro calcularemos a soma dos lados do terreno que estão de frente para a Rua Pequi:

\(36+24+12=72\)

Agora temos que:

\(\frac{72}{60} = \frac{36}{a} \\ 72a = 60 \cdot 36 \\ a = \frac{60 \cdot 36}{72} \\ a = \frac{2160}{72} \\ a = 30 \\ \)

Alternativa D.

Primeiro vamos desenhar a rampa para ilustrar a situação:

Pelo teorema de Tales, temos que:

\(\frac{3{,}2 + x}{2{,}2} = \frac{3{,}2}{0{,}8} \\ \frac{3{,}2 + x}{2{,}2} = 4 \\ 3{,}2 + x = 4 \cdot 2{,}2 \\ 3{,}2 + x = 8{,}8 \\ x = 8{,}8 - 3{,}2 \\ x = 5{,}6 \\ \)

Alternativa C.

Como DE é paralelo a BC, podemos aplicar o teorema de Tales.

Dados: AC = 50 cm, AE = 20 cm e AD = 10 cm.

Então temos que:

\(\frac{50}{20} = \frac{\overline{AB}}{10} \\ 20 \cdot \overline{AB} = 50 \cdot 10 \\ \overline{AB} = \frac{500}{20} \\ \overline{AB} = 25 \\ \)