Exercícios sobre tangente

Analise o triângulo a seguir:

Sabendo que a tangente do ângulo α é igual a 12, então o valor de x é:

A) \(\frac{3}{2}\)

B) \(\frac{2}{3}\)

C) \(\frac{1}{2}\)

D) \( 2\)

E) \(\frac{3}{4}\)

Analisando o triângulo retângulo a seguir, podemos afirmar que a tangente do ângulo α é igual a:

A) \(\frac{5}{13}\)

B) \(\frac{5}{12}\)

C) \(\frac{12}{13}\)

D) \( \frac{13}{12}\)

E) \(\frac{12}{5}\)

Na arquitetura é muito comum a representação de figuras geométricas para projetar construções. Durante os seus estudos na arquitetura, Kárita precisou desenhar uma reta tangente a um círculo. A reta é tangente a um círculo quando:

A) passa pelo centro desse círculo.

B) intercepta a circunferência em dois pontos.

C) intercepta a circunferência em um único ponto.

D) não intercepta a circunferência.

Na imagem a seguir temos duas circunferências, uma menor, de centro C, e outra maior, de centro A. Podemos observar que essas circunferências se encontram no ponto B.

Após analisar a imagem, julgue as afirmativas a seguir:

I. A circunferência A é tangente interna à circunferência C.

II. O ponto de tangência dessas circunferências é o ponto B.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira

B) Somente a afirmativa II é verdadeira

C) Ambas as afirmativas são verdadeiras

D) Ambas as afirmativas são falsas.

Em um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus ângulos agudos é igual a 1. Nesse sentido, podemos afirmar que:

A) Esse triângulo é retângulo e equilátero.

B) Esse triângulo é retângulo e isósceles.

C) Esse triângulo é retângulo e escaleno.

D) Esse triângulo é retângulo e obtusângulo.

E) Esse triângulo não é retângulo.

Dado um triângulo retângulo de catetos medindo a e b, observou-se que a razão entre os catetos a e b é igual a \(\sqrt3\). Nessas condições, podemos afirmar que a medida do ângulo oposto ao lado de medida b é igual a:

A) 30º

B) 45º

C) 60º

D) 75º

E) 90º

Determinado ângulo possui seno igual a \( \frac{2}{3}\) e cosseno igual a \(\frac{\sqrt5}{3}\), então o valor da tangente desse ângulo é:

A) \( \frac{2\sqrt5}{5}\)

B) \( \sqrt5\)

C) \( \frac{\sqrt5}{2}\)

D) \( \frac{1}{2}\)

E) \( \frac{1}{5}\)

A área de lazer de um condomínio possui formato de um triângulo retângulo, com as medidas como do esboço a seguir:

Analisando essa região, podemos afirmar que a área de lazer desse condomínio possui: (use √3 = 1,7)

A) 8,25 m²

B) 18,520 m²

C) 30,812 m²

D) 61,625 m²

E) 123,250 m²

Analisando o retângulo a seguir, e utilizando \( \frac{\sqrt3}{3}=0,58\), o perímetro do terreno demonstrado é:

A) 4,64 cm

B) 12,64 cm

C) 20,20 cm

D) 23,42 cm

E) 25,28 cm

Um ângulo possui tangente medindo 0,3443 e seno medindo 0,3256, então o valor do cosseno desse ângulo é de aproximadamente:

A) 0,3349

B) 0,4728

C) 0,6699

D) 0,9457

E) 1,0574

(Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.

Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a

(considere \(\frac{\sqrt3}{3}\) = 0,58)

A) 50%

B) 43%

C) 33%

D) 33%

E) 19%

(Enem) As torres Puerta de Europa, construídas numa avenida de Madri, na Espanha, são inclinadas uma contra a outra. A inclinação das torres é de 15° com a vertical, e elas têm, cada uma, altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada, e uma delas pode ser observada na imagem.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço

A) menor que 100 m².

B) entre 100 m² e 300 m².

C) entre 300 m² e 500 m².

D) entre 500 m² e 700 m².

E) maior que 700 m².

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, então temos que:

\(\frac{x+2}{4x+1}=\frac{1}{2}\)

Multiplicando cruzado:

\(4x+1=2x+4\)

\(4x-2x=4-1\)

\(2x=3\)

\(x=\frac{3}{2}\)

Alternativa B.

Sabemos que a tangente é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente, nessa ordem. Note que a medida do cateto oposto ao ângulo é de 5 unidades, e a medida do cateto adjacente ao ângulo é de 12 unidades, então essa razão é igual a \(\frac{5}{12}\).

Alternativa C.

A reta é tangente ao círculo quando ela toca a circunferência em um único ponto.

Alternativa C

I. A circunferência A é tangente interna à circunferência C. (verdadeiro)

Note na imagem que as circunferências de centro A e C são circunferências que se encontram em um único ponto.

II. O ponto de tangência dessas circunferências é o ponto B. (verdadeiro)

O ponto de encontro das circunferências é conhecido como ponto de tangente, e na imagem é possível perceber que esse ponto de fato está representado pelo ponto B.

Alternativa B.

Se a tangente do triângulo é igual a 1, sabemos que o ângulo notável que possui tangente igual a 1 é o ângulo de 45º. Sabemos que o triângulo é retângulo, logo ele possui um ângulo medindo 90º. Além disso, sabemos que um dos ângulos internos mede 45º.

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo retângulo é 180º, sendo x a medida do outro ângulo, temos que:

\(180\ =\ 45\ +x\ +\ 90\)

\(180=135+x\)

\(180\ -\ 135\ =\ x\)

\(45° = x\)

Se temos dois ângulos internos medindo 45º e o outro ângulo medindo 90º, então o triângulo é isósceles.

Alternativa A.

Primeiro, faremos um esboço da situação.

Seja C o ângulo reto, sabemos que a tangente do ângulo A é a razão entre a e b, que segundo o enunciado é igual a \(\sqrt3\), mas note que a é cateto oposto ao ângulo A, e b é cateto adjacente ao ângulo A. Sendo assim, podemos afirmar que \(tan\ A=\sqrt3\). Se a tangente de A é igual a \(\sqrt3\), o ângulo cuja tangente é \(\sqrt3\) é o ângulo de 60º.

Por fim sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Se Â=60º e C = 90º, então B=30°.

Alternativa A.

Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, logo:

\(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt5}{3}}\)

\(\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt5}\)

\(\frac{2}{\sqrt5}\)

Racionalizando, temos que:

\(\frac{2}{\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\)

\(\frac{2\sqrt5}{5}\)

Alternativa D.

Para calcular a área, primeiro calcularemos a medida da base do triângulo, representada por x:

\(tan\ 60°=\frac{14,5}{x}\)

Sabendo que a tangente de 60° é igual a \(\sqrt3\), temos que:

\(\sqrt3=\frac{14,5}{x}\)

\(1,7=\frac{14,5}{x}\)

\(1,7x\ =\ 14,5\)

\(x=\frac{14,5}{1,7}\)

\(x=8,5\ m\)

Calculando a área:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(A=\frac{8,5\cdot14,5}{2}\)

\(A=\frac{123,25}{2}\)

\(A=61,625\ m^2\)

Alternativa E.

Para calcular o perímetro do retângulo, calcularemos o valor de x, utilizando a tangente:

\(tan\ 30°=\frac{x}{8}\)

\(\frac{\sqrt3}{3}=\frac{x}{8}\)

\(0,58=\frac{x}{8}\)

\(0,58\ \cdot8\ =\ x\)

\(4,64\ =\ x\)

Agora, calcularemos o perímetro:

\(P=2\left(8+4,64\right)=2\cdot12,64=25,28\ cm\)

Alternativa D.

Sabemos que \(tan\ x=\frac{sen\ x}{cos\ x}\), então temos que:

\(0,3443=\frac{0,3256}{cosx}\)

\(0,3443\ cosx\ =\ 0,3256\)

\(cosx=\frac{0,3256}{0,3443}\)

\(cos\ x=0,9457\)

Alternativa E.

Sabemos que a área total do terreno mede \(3\cdot2=6\ km^2\). Se o ângulo é o mesmo, sabemos que o triângulo que representa a parte que coube ao João possui um ângulo de 30º, pois 90°: 3 = 30°.

No triângulo a seguir temos a área que coube ao João:

Para encontrar o valor de x, utilizaremos a área.

\(tan\ 30°=\frac{x}{2}\)

\(\frac{\sqrt3}{3}=\frac{x}{2}\)

\(0,58=\frac{x}{2}\)

\(2\ \cdot0,58\ =\ x\)

\(1,16=x\)

Se x = 1,16, então a área que coube ao João mede:

\(A=\frac{b\cdot h}{2}\)

\(A=\frac{1,16\cdot2}{2}\)

\(A=1,16\ km^2\)

Calculando a porcentagem a área total, temos:

\(1,16\ ∶\ 6\ =\ 0,1933\ldots\ \ =\ 19,3%\)

Aproximadamente 19%.

Alternativa E.

O segmento AB divide o prédio em dois triângulos retângulos, sabendo que o ângulo B é igual a 15º e que conhecemos o cateto adjacente a ele, é possível calcular o tamanho da base utilizando a tangente.

\(tan\ 15°=\frac{CO}{CA}\)

\(0,26=\frac{x}{114}\)

\(0,26\ \cdot114\ =\ x\)

\(29,64=x\)

Então, a área da base da torre mede 29,64² = 878,53 m², que é maior que 700.

Como a base é um quadrado, sua área será 29,64² = 878,53.