Exercícios sobre subconjuntos dos números naturais

Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem alguma característica única. Eles foram formados durante a história do desenvolvimento humano, e cada conjunto nasceu para suprir as necessidades de uma época. A respeito do conjunto dos números naturais, assinale a alternativa correta:

a) É um conjunto formado por todos os números inteiros, exceto pelo zero.

b) É um conjunto formado pela união entre os subconjuntos dos números pares e primos.

c) É um conjunto formado por todos os números não positivos.

d) É um conjunto formado pela intersecção entre os subconjuntos dos números pares e ímpares.

e) É um conjunto formado pela união entre os subconjuntos dos números pares e ímpares.

A respeito do subconjunto dos números pares, assinale a alternativa correta.

a) A soma entre três números pares quaisquer sempre terá um número ímpar como resultado.

b) A soma entre dois números ímpares sempre terá um número par como resultado.

c) O produto entre dois números pares não pode resultar em um número ímpar.

d) A divisão entre dois números pares sempre resulta em um número par.

e) Não existe uma lei de formação para o conjunto dos números pares.

A partir de cada número natural é possível construir um subconjunto formado pelos seus múltiplos. A respeito dos subconjuntos formados por múltiplos de um número natural, assinale a alternativa verdadeira:

a) O conjunto dos números pares não é um subconjunto de múltiplos dos números naturais.

b) O conjunto dos números ímpares é um subconjunto formado por múltiplos de números naturais, pois números ímpares sempre podem ser escritos na forma 2n + 1.

c) O conjunto dos números naturais é um subconjunto de múltiplos do conjunto dos números naturais.

d) Todo conjunto de múltiplos dos números naturais é finito.

e) O conjunto dos múltiplos de zero possui apenas um subconjunto formado por S = {0}.

A respeito do conjunto dos números primos, assinale a alternativa correta:

a) É um conjunto formado apenas por números ímpares.

b) É um conjunto finito, já que não contempla todos os números naturais.

c) É um conjunto infinito porque, dado um número primo, sempre existirá um número primo maior que ele, embora o conjunto formado pelos números primos conhecidos seja finito.

d) É um subconjunto formado por números compostos, já que o número 2 pertence a ele.

e) O conjunto dos números primos não é subconjunto dos números naturais.

a) Incorreta!
O conjunto dos números naturais não contém todos os números inteiros. Por exemplo, - 1 é um número inteiro e não é natural.

b) Incorreta!
A união entre o conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares não contém todos os números naturais. Por exemplo, não estão presentes nessa união os números 9, 15 e 21, que são ímpares e não são primos.

c) Incorreta!
O conjunto dos números não positivos é formado somente por números que não são naturais.

d) Incorreta!
A intersecção entre os conjuntos dos números pares e ímpares é o conjunto vazio, pois nenhum número é par e ímpar ao mesmo tempo. Estaria correto se, em vez de intersecção, houvesse a palavra união.

e) Correta!

Gabarito: Letra E.

b) Correta!

Um número ímpar sempre pode ser escrito na forma 2n + 1, em que n é um número natural. Suponha que 2k + 1 e 2 j + 1 sejam dois números ímpares:

(2k + 1)(2j + 1) = 4kj + 2k + 2j + 1

Observe que a parcela 1 aparece e não pode ser diluída em qualquer outra soma. Por isso, esse número é ímpar. Para mostrar que ele pode ser escrito na forma 2n + 1, coloque dois em evidência da seguinte maneira:

4kj + 2k + 2j + 1 = 2(2kj + k + j) + 1

Fazendo (2kj + k + j) = n, teremos:

2(2kj + k + j) + 1 = 2n + 1

Gabarito: Letra B.

a) Incorreta!
O conjunto dos números pares é um subconjunto dos números naturais formados pelos múltiplos de dois.

b) Incorreta!
Para que um conjunto numérico seja subconjunto de múltiplos dos números naturais, é preciso que ele esteja na forma kn, em que k é uma constante (que pertence aos números naturais) e n pode ser substituído por qualquer número natural a fim de encontrar um dos múltiplos de k. A forma geral dos números ímpares é 2n + 1 (ou 2n – 1, dependendo do autor), ou seja, não são formados por múltiplos de um único número natural.

c) Verdadeira!
Todo conjunto é um subconjunto de si mesmo. O conjunto dos números naturais é o subconjunto formado pelos múltiplos de 1. Portanto, a alternativa é verdadeira.

d) Incorreta!
Todo conjunto de múltiplos de números naturais, a menos que exista alguma restrição, é infinito.

e) Incorreta!
O conjunto formado pelos múltiplos de zero (S) possui pelo menos dois subconjuntos: S = {} e S = {0}

Gabarito: Letra C.

a) Incorreta!
O número 2 é primo e não é ímpar. Todos os outros números primos são.

b) Incorreta!
Não é um conjunto infinito, embora não contemple mesmo todos os números naturais.

c) Correta!

d) Incorreta!
O número 2 é primo, por isso não é composto. Ou um número é primo ou é composto.

e) Incorreta!
O conjunto dos números primos é mesmo subconjunto dos números naturais.

Gabarito: Letra C.