Exercícios sobre função do 2º grau

Sabemos que o gráfico de uma função do 2º grau, ou função quadrática, é sempre uma parábola. Dada a lei de formação da função, f(x) = ax2 + bx + c, é possível identificar se o gráfico da sua concavidade é para cima ou para baixo. A função quadrática possui concavidade para baixo quando:

A) a for negativo.

B) a for positivo.

C) b for negativo.

D) b for positivo.

E) c for negativo.

A função quadrática definida por f(x) = x2 -7x + 10 tem raízes reais. A soma dessas raízes é igual a:

A) -10

B) -7

C) -3

D) 7

E) 10

O lucro mensal L(x), em milhares de reais, de uma empresa depende do preço x, em reais, do produto que pode ser descrito pela função L(x) = -2x2 + 16x - 20.

Qual deve ser o preço do produto para se obter o maior lucro possível?

A) 2 reais
B) 4 reais
C) 6 reais
D) 8 reais
E) 10 reais

O lançamento de um foguete pode ter sua altura descrita pela função h(x), em metros, em que x é o tempo em segundos. A função que descreve a trajetória desse lançamento é:

h(x) = -5x2 + 30x + 10

Qual é a altura máxima atingida pelo foguete?

A) 35 metros

B) 40 metros

C) 45 metros

D) 50 metros

E) 55 metros

Kárita deseja construir um jardim retangular com área de 8 m2. O comprimento do jardim deve ser 2 metros maior que a largura. Sendo x a largura do jardim, a equação que representa essa situação é:

x (x + 2) = 8

Então os possíveis valores para x são:

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

(Enem) Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de infectados é dado pela função f(t) = –2t2 + 120t (em que t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.

A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca de 1 600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer.

A segunda dedetização começou no

A) 19º dia.

B) 20º dia.

C) 29º dia.

D) 30º dia.

E) 60º dia.

(Enem) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:

A) V = 10.000 + 50x – x2.

B) V = 10.000 + 50x + x2.

C) V = 15.000 – 50x – x2.

D) V = 15.000 + 50x – x2.

E) V = 15.000 – 50x + x2.

Um drone faz uma trajetória que pode ser descrita pela função f(x) = -2x2 + 8x, em que x é o tempo dado em segundos e f(x) é a altura do drone dada em metros. Sabendo que ele toca novamente o solo ao final do trajeto, em qual instante isso ocorre?

A) 2 segundos

B) 4 segundos

C) 6 segundos

D) 8 segundos

E) 10 segundos

A função quadrática f(x) = 3x2 – 6x + k não tem raízes reais. Qual o menor valor inteiro para k?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

A seguir está representado o gráfico de uma função do 2º grau.

A lei de formação dessa função é:

A) f(x) = x2 - 6x + 8
B) f(x) = x2 + 8x - 6
C) f(x) = x2 + 2x + 4
D) f(x) = x2 - 4x + 2
E) f(x) = -x2 + 2x + 4
 

(Enem 2022) Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola \(y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12 \), em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.

A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:

• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.

O saque desse atleta foi invalidado

A) apenas no ginásio I.

B) apenas nos ginásios I e II.

C) apenas nos ginásios I, II e III.

D) apenas nos ginásios I, II, III e IV.

E) em todos os ginásios.

(Enem) Um meio de transporte coletivo que vem ganhando espaço no Brasil é a van, pois realiza, com relativo conforto e preço acessível, quase todos os tipos de transportes: escolar e urbano, intermunicipal e excursões em geral.

O dono de uma van, cuja capacidade máxima é de 15 passageiros, cobra para uma excursão até a capital de seu estado R$ 60,00 de cada passageiro. Se não atingir a capacidade máxima da van, cada passageiro pagará mais R$ 2,00 por lugar vago.

Sendo x o número de lugares vagos, a expressão que representa o valor arrecadado V(x), em reais, pelo dono da van, para uma viagem até a capital é:

A) V(x) = 902x

B) V(x) = 930x

C) V(x) = 900 + 30x

D) V(x) = 60x + 2x2

E) V(x) = 900 – 30x – 2x2

Alternativa A

A função do 2º grau tem como gráfico uma parábola, essa parábola tem concavidade para baixo se o coeficiente a for negativo.

Alternativa D

Dada a função, temos que:

a = 1, b= - 7 e c = 10

Em uma função do 2º grau, a soma das raízes é sempre igual a:

\(S = - \frac{b}{a} \)

Logo, temos que:

\(S = -\left(\frac{-7}{1}\right) \)

\(S=-(-7)\)

\(S=7\)

Alternativa B

Para encontrar o valor do produto que maximiza o lucro, basta calcularmos o x do vértice, então temos que:

\(x_v = \frac{-b}{2a} \)

a = - 2 e b = 16

\(x_v = \frac{-16}{2 \ \cdot \ (-2)} = \frac{-16}{-4} = 4 \)

Então o valor de venda do produto deve ser de R$ 4.

Alternativa E

Queremos calcular a sua altura máxima, para isso, temos que:

\(h_{\text{máxima}} = \frac{-\Delta}{4a} \)

Calculando o valor de delta, temos que:

\(Δ=b^2-4ac\)

a = -5, b = 30 e c = 10

\(\Delta = 30^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 10 \)

\(\Delta = 900 +200\)

\(\Delta = 1100 \)

Então, temos que:

\(h_{\text{máxima}} = \frac{-\Delta}{4a} \)

\(h_{\text{máxima}} = \frac{-1100}{4(-5)} \)

\(h_{\text{máxima}} = \frac{-1100}{-20}\)

\(h_{\text{máxima}} = 55 \, \text{metros} \)

Alternativa B

A equação da área do jardim é:

\(x(x+2)=8\)

\(x^2+2x-8=0\)

Calculando o delta:

a = 1, b = 2 e c = - 8

\(Δ=b^2-4ac\)

\(Δ=2^2-4⋅1⋅(-8)\)

\(Δ= 4+32\)

\(Δ= 36\)

Aplicando Bhaskara:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}\)

\(x = \frac{-2 \pm 6}{2} \)

Como nós queremos somente a solução positiva, então temos que:

\(x = \frac{-2 + 6}{2} \)

\(x = \frac{4}{2} \)

\(x=2\)

Alternativa B

Queremos o valor de t para que – 2t2 + 120t = 1600, logo, temos que:

\(-2t^2+120t-1600=0\)

\(a=-2 b = 120 \ e \ c = -1600\)

Então, calculando o delta:

\(Δ=b^2-4ac\)

\(Δ=120^2-4⋅(-2)⋅(-1600)\)

\(Δ=14.400-12.800\)

\(Δ= 1600\)

Agora, calculando Bháskara:

\(t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

\(t = \frac{-120 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot (-2)} \)

\(t = \frac{-120 \pm 40}{-4} \)

\(t_1 = \frac{-120 + 40}{-4} = \frac{-80}{-4} = 20 \)

\(t_2 = \frac{-120 - 40}{-4} = \frac{-160}{4} = 40 \)

Então a dedetização deve ocorrer no 20º dia.

Alternativa C

Sabemos que tem um aumento de 100 litros vendidos a cada centavo de desconto, ou seja:

(10.000 + 100x)

Além disso, o valor pago pelo litro é dado por:

 (1,50 – 0,01x)

Calculando o valor V, temos que:

V = (10.000 + 100x) (1,50 - 0,01x)

V = 15.000 + 150x – 100x – x2

V = 15.000 + 50x – x2

Alternativa B

Queremos encontrar os zeros da função, então temos que:

\(-2x^2+8x=0\)

\(-2x(x-4)=0\)

Então temos que:

2x = 0

x=0

E que:

x - 4 = 0

x = 4

Alternativa D

Para que a função quadrática não tenha raízes reais, o delta deve ser negativo:

Δ = b2 - 4ac < 0

Sabemos que:

a = 3,               b = -6,             c = k

Calculando o delta:

\(Δ=(-6)^2-4⋅3⋅k\)

\(Δ = 36 - 12k\)

Para que não tenha raízes reais:

\(36 - 12k < 0\)

\(36 < 12k\)

\(36∶ 12 < k\)

\(3 < k\)

Logo, k deve ser maior que 3, e o menor número inteiro maior que 3 é o 4.

Alternativa A

Para encontrar a lei de formação da função, analisando o gráfico, é possível verificar que as duas raízes dessa função são 2 e 4, logo, temos que:

\(f(x)=(x-2)(x-4)\)

\(f(x)=x^2-4x-2x+8\)

\(f(x)=x^2-6x+8\)

Alternativa D

É necessário calcular y_v e somar 1,5 a esse valor, logo, temos que:

\(y_v = - \frac{\Delta}{4a} \)

\(Δ=b^2-4ac\)

\(\Delta = \left( \frac{-7}{3} \right)^2 - 4 \cdot \left( \frac{-1}{6} \right) \cdot 12 \)

\(\Delta = \frac{49}{9} + 8 \)

\(\Delta = \frac{49}{9} + \frac{72}{9} = \frac{121}{9} \)

Então, temos que:

\(y_v = - \frac{\frac{121}{9}}{4 \cdot \left( \frac{-1}{6} \right)} \)

\(y_v = - \frac{\frac{121}{9}}{-\frac{4}{6}} \)

\(y_v = - \left( \frac{121}{9} \cdot (- \frac{6}{4}) \right) \)

\(y_v = - \left( \frac{121}{9} \cdot ( -\frac{3}{2}) \right) \)

\(y_v = \frac{121}{6} = 20,16 \)

Somando 1,5, temos que:

\(1,5 + 20,16 =21,6 m\)

Essa altura é maior que todos os quatro primeiros ginásios.

Alternativa E.

Seja x o número de pessoas que não compareceram, o pagamento pelo lugar ocupado é calculado por:

\(60 \cdot ( 15 – x)\)

Cada um pagará 2 reais por vaga não ocupada, ou seja:

\(2x \ (15 – x)\)

Logo, temos que:

\(V(x) = 60 ( 15 – x) + 2x ( 15 – x)\)

\(V(x) = 900 – 60x + 30x – 2x²\)

\(V(x) = 900 – 30x – 2x²\)